VARIABLES QUE SE USAN EN LOS INVENTARIOS.
Q= N. de piezas por orden
Q= N. optimo de piezas por orden
D= Demanda anual en piezas por el producto de inventario
S= Costo de preparación de la orden
H= Costo del manejo del inventario por unidad
N= N. esperado de ordenes
T= Tiempo esperado de ordenes
CT= Costo total
EJERCICIO
Dado los siguientes datos, determinar el costo total anual del sistema de inventarios bajo una política optima ordenar.
Demanda anual (D) = 12,000 piezas
Costo de mantener/piezas/año (H) = $1.00
Costo de ordenar (S) = $15.00 pieza
Tiempo de entrega (+) = 5 días
Existencia de seguridad “stock” 200 piezas/precio por pieza 10 centavos (Q) 1,000
Ct = 12,000 % 1000 (15) + 1,000 % 2 (1) =
Ct = 180 + 500
Ct = $650
Stock de seguridad debe a la cantidad por mantener el costo de sus cuentas.
OTRO MÉTODO
Q = 2DS
H
DONDE D = 1,2000 piezas
S = 15 piezas
H = 1 piezas
Calculando Q* = 2(12,000) (15) = 600 piezas (cantidad optima EOQ)
1
Para calcular el C total debemos considerar todas las parcialidades retenidas a los costos mismos.
C total = Pmit* D + costos de prep + del inven + stock de seguridad
(0.10) (12,000) (15) + 600 (1) + 200 (1)
600 2
Costos de preparación- D (S) Costo manejo Q (1) stock E = (H) Costo total = 1200 + 300 + 300 + 200 = $2,000
N. esperado de ordenes = demanda = D
Cantidad orden Q*
D = 12K = 20 - 20 ordenes debemos colocar durante el periodo
Tiempo esperado = N. de días laborales/año
Entre ordenes N
= 225 =11.25 Días
Por lo tanto cada 11 días debo lanzar una orden de compra o pedido.
EJERCICIO:
Considerar la siguiente situación de inventarios donde X compran productos sanitarios desechables siendo la demanda anual de 400 hojas, el costo de colocar ordenes de
$12 el manejo del inventario es del 20%
5
Los precios son los siguientes:
De 1 a 49 cajas = $1.29
De 50 a 99 cajas = $ 28.59
De100 cajas en adela = $28
Calcular el costo total e indicar la cantidad y el costo mas adecuado
Ctot = (CD) + (S) D + (I C) Q
Tomando en cuenta el precio de $29 calculando la EQ
Q 2DS = (2) (400)(12) = (2) (4800) = 4600 = 16.55.17
H 0.28)29) 58 5.8
= 40.28 piezas *la Q son piezas
Para calcular el costo total debemos considerar todos los costos.
* C total = CD + SD + CQ
Q 2
(29) 400 + (12)1400) + .20 (29) 40.68 ( =
40.68 2
11600 + 4800 + 5.8 (20.34)
40.68
11600 + 117.99 + 117.97 = $11835.96
* Tomando el precio de $28.59 calculamos la EQ
Q * 400 = 2 (400) (12) = 9600 = 1678.90 = 40.97 PIEZAS
+1 (0.20)(28.59) 5.718
C total = CD + SD + I c Q
Q 2
28.59 (400) + 12 (400) + .20 (28.59) 40.97
40.97 2
11436 + 4800 + 5.718 (20.48)
40.97
11436 + 117.15 + 117.10 = $11670.25
* Tomando el precio de $28 calculamos EQ
2(400) (12) = 9600
(0.20) (28)
ESCALA DE CANTIDAD /PRECIOS
CAJAS 1 - 49; $29
50 - 99; $28.59
100; $28.00
* Tomando el precio de 29.05
Calculamos la EOQ = Q* 2 DS
Q* 2 (400) (12) = 40.68 *unidades piezas
(0.20) (29)
Para calcular el C total debemos considerar todos los costos
12* Dólares
Por lo tanto C total – CD + SD + C Q = .202932 = C total = 11600 + 117.994 + 117.992
400 Q 2
C total = 11, 835,966
viernes, 23 de mayo de 2008
CUESTIONARIO
1. ¿QUÉ SON LOS MODELOS MATEMATICOS?
Una sistema donde todos los comportamientos u opciones se pueden simular por medio de ecuaciones matemáticas cuyas variables están previamente establecidas de acuerdo a lo que se quiere contemplar. Permiten obtener resultados en base a experiencias anteriores o a estadística. Se utiliza en pronósticos (de demanda, ventas), en control de inventarios, de calidad, muestre). Hay que rescatar que todo modelo matemático sufre de error cuando se compara con la realidad, pues siempre será un cálculo y factores externos que no permitan la exactitud.
2. CUÁL ES LA CLASIFICACION DE UN INVENTARIO, SEGÚN SU FUNCIÓN
a) Predictivos: Los participantes conocerán la aplicación práctica de los lineamientos establecidos para que las operaciones presupuestarias y de pago a cargo de lo órganos administrativos desconcentrados y de las entidades apoyadas de control presupuestario indirecto se conviertan de transferencias a gasto directo, efectuando los pagos a través de la emisión de la Cuenta por Liquidar Certificada.
b) Evaluativos: Nuestros programas educativos se desarrollan en las áreas financiera, contable, fiscal y administrativa y están dirigidos en último término a lo que debe ser útil con base en la problemática de las organizaciones tal y como se presenta en la realidad, misma que resolvemos desarrollando los conceptos y utilizando las fórmulas y herramientas adecuadas en sesiones de trabajo altamente productivas, conducidas por cuadros docentes especializados tanto en la actividad docente como profesional.
c) Optimos: Nuestros programas educativos se desarrollan en las áreas financiera, contable, fiscal y administrativa y están dirigidos en último término a lo que debe ser útil con base en la problemática de las organizaciones tal y como se presenta en la realidad, misma que resolvemos desarrollando los conceptos y utilizando las fórmulas y herramientas adecuadas en sesiones de trabajo altamente productivas, conducidas por cuadros docentes especializados tanto en la actividad docente como profesional.
d) Deterministicos: Nuestros programas educativos se desarrollan en las áreas financiera, contable, fiscal y administrativa y están dirigidos en último término a lo que debe ser útil con base en la problemática de las organizaciones tal y como se presenta en la realidad, misma que resolvemos desarrollando los conceptos y utilizando las fórmulas y herramientas adecuadas en sesiones de trabajo altamente productivas, conducidas por cuadros docentes especializados tanto en la actividad docente como profesional.
e) Probabilisticos: Nuestros programas educativos se desarrollan en las áreas financiera, contable, fiscal y administrativa y están dirigidos en último término a lo que debe ser útil con base en la problemática de las organizaciones tal y como se presenta en la realidad, misma que resolvemos desarrollando los conceptos y utilizando las fórmulas y herramientas adecuadas en sesiones de trabajo altamente productivas, conducidas por cuadros docentes especializados tanto en la actividad docente como profesional.
f) Estaticos: Nuestros programas educativos se desarrollan en las áreas financiera, contable, fiscal y administrativa y están dirigidos en último término a lo que debe ser útil con base en la problemática de las organizaciones tal y como se presenta en la realidad, misma que resolvemos desarrollando los conceptos y utilizando las fórmulas y herramientas adecuadas en sesiones de trabajo altamente productivas, conducidas por cuadros docentes especializados tanto en la actividad docente como profesional.
3. CUÁLES SON LAS FASES DE MODELIZACION Y SUS REGLAS
En un análisis predictivo el mejor modelo es el que produce predicciones más fiables para una nueva observación, mientras que en un análisis estimativo el mejor modelo es el que produce estimaciones más precisas para el coeficiente de la variable de interés.
En ambos casos se prefiere el modelo más sencillo posible (a este modo de seleccionar modelos se le denomina parsimonia), de modo que en un análisis estimativo, se puede excluir del modelo una variable que tenga un coeficiente significativamente distinto de cero y que su contribución a la predicción de la variable dependiente sea importante, porque no sea variable de confusión para la variable de interés (el coeficiente de dicha variable no cambia), en un análisis predictivo esa variable no se excluiría.
Sin embargo, hay una serie de pasos que deben realizarse siempre:i) Especificación del modelo máximo.ii) Especificación de un criterio de comparación de modelos y definición de una estrategia para realizarla.iii) Evaluación de la fiabilidad del modelo.
4. CUÁLES SON LOS PASOS DELMETODO CIENTIFICO?
5. QUE ENTIENDE POR SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIOS?
Proceso para asegurar que las actividades reales se ajusten a las actividades planificadas. Permite mantener a la organización o sistema en buen camino.
La palabra control ha sido utilizada con varios y diferentes sentidosControl como función coercitiva y restrictiva, para inhibir o impedir conductas indeseables, como llegar con atraso al trabajo o a clases, hacer escándalos, etcétera.Control como verificación de alguna cosa, para apreciar si está correcto, como verificar pruebas o notas.Control como comparación con algún estándar de referencia como pensar una mercadería en otra balanza, comparar notas de alumnos etcétera.Control como función administrativa, esto es, como la cuarta etapa del proceso administrativo.
Constituye la cuarta y ultima etapa del proceso administrativo. Este tiende a asegurar que las cosas se hagan de acuerdo con las expectativas o conforme fue planeado, organizado y dirigido, señalando las fallas y errores con el fin de repararlos y evitar que se repitan.
6. CUALES SON LOS PARAMETROS O CONCEPTOS ECONOMICOS USADOS EN EL CONTROL DE INVENTARIOS?
Control preliminar. Este control tiene lugar antes de principiar operaciones e incluye la creación de políticas, procedimientos y reglas diseñadas para asegurar que las actividades planeadas serán ejecutadas con propiedad. La consistencia en el uso de las políticas y procedimientos es promovida por los esfuerzos del control.Control concurrente. Este control tiene lugar durante la fase de la acción de ejecutar los planes e incluye la dirección, vigilancia y sincronización de las actividades, según ocurran.Control de retroalimentación. Este tipo de control se enfoca sobre el uso de la información de los resultados anteriores, para corregir posibles desviaciones futuras del estándar aceptable.
7. QUE SE ENTIENDE POR TAMAÑO ECONOMICO (EOQ) CANTIDAD MINIMA ORDENAR FORMULAS)
El Economic Order Quantity, o EOQ, constituye actualmente uno de los sistemas de administración de inventarios. Creado a principios del siglo XX, el EOQ es un método que, tomando en cuenta la demanda, el costo por mantener (en inventario), y por ordenar, así como el costo del artículo, produce como salida la cantidad óptima a ordenar, para minimizar costos por mantenimiento de los artículos.
El principio del EOQ es simple, y se basa en encontrar el punto en el que los costos por ordenar artículos y los costos por mantenerlos en inventario son iguales.
Se trata de un método que no da una solución óptima, pero sí se aproxima a ésta. Otro de sus defectos, es que considera una demanda determinística.
8. QUE SE ENTIENDE POR INVENTARIO CICLICO?
Son inventarios que se requieren para apoyar la decisión de operar según tamaños de lotes. Esto se presenta cuando en lugar de comprar, producir o transportar inventarios de una unidad a la vez, se puede decidir trabajar por lotes, de esta manera, los inventarios tienden a acumularse en diferentes lugares dentro del sistema.
9. QUE SE ENTIENDE POR PUNTO DE REORDEN?
El punto de reorden es una practica bastante extendida en las empresas industriales y básicamente consiste en la existencia de una señal al departamento encargado de colocar pedidos, indicando que la existencia de determinado material ha llegado a cierto nivel y que debe hacerse un nuevo pedido. El punto debe ser aquel que le permita seguir `produciendo mientras llega el otro pedido.
Existen diversas técnicas para señalar el punto de reorden desde papeles en los estantes o anaqueles a los sistemas informativos que solicitan los pedidos automáticamente cuando se llega el nivel mínimo de inventarios.
Estos puntos de reordene deben ser aprobados y estudiados por los departamentos de compras y producción para su establecimiento y serán responsabilidad del departamento de producción junto con el almacén para su control y vigilancia. Debe haber instrucciones claras y precisa de lo que debe hacerse con las requisiciones colocadas.
10. QUE ES UNA DEMANDA CONSTANTE DE LOS INVENTARIOS Y CUALES SON LOS TIPOS DE DEMANDA EXISTENTE? QUE ES UNA DEMANDA CONOCIDA?
Demanda: Conjunto de bienes o servicios que los consumidores están dispuestos a adquirir a cada nivel de precios, manteniéndose constantes el resto de las variables, también se define como petición de compra de un título, divisa o servicio.
Demanda Agregada: Consumo e inversión globales, es decir, total del gasto en bienes y servicios de una economía en un determinado período de tiempo.
Demanda Derivada: La que es consecuencia de otra demanda. Así, la demanda de capitales y de mano de obra depende de la demanda final de bienes y servicios.
Demanda Elástica: Característica que tienen aquellos bienes cuya demanda se modifica de forma sustancial como consecuencia de cambios en el precio de dicho bien o cambios en la renta de los consumidores.
Demanda Inelástica: Demanda que se caracteriza porque la variación en el precio de un bien determinado apenas afecta a la variación de la cantidad demandada de ese bien, de forma que queda manifiesta la rigidez de su demanda. En ocasiones esta relación es incluso inexistente, y entonces se habla de total rigidez de la demanda.
Demanda Exterior: Demanda de un país de bienes o servicios producidos en el extranjero.
Demanda Interna: Suma del consumo privado y del consumo público de bienes y servicios producidos en el propio país.
Demanda Monetaria: Función que expresa la cantidad de riqueza que las personas y las empresas guardan en forma de dinero, renunciando así a gastarlo en bienes y servicios o a invertirlo en otros activos.
11. QUE PAPEL JUEGAN LOS COSTOS EN RELACION A CONTROL DE INVENTARIO?
Hay una diversidad de medios y sistemas den control contable de inventarios para contar con un inventario perpetuo, que van desde un simple kardex hasta lo más sofisticado en sistemas computarizados, los que incluyen ya inventarios perpetuos de tiendas departamentales y de autoservicio a través de lectores ópticos, etc., y que hace algunos años se veían como un sueño . Puede decirse que dependiendo del tamaño de las empresas y la complejidad de los inventarios y el proceso productivo, será el control contable que adopte la empresa para tener el control deseado. Como condición propia del control contable será que deberá satisfacer plenamente las necesidades de información que fije la dirección de la empresa, para la administración eficiente de los inventarios.
12. QUE SE ENTIENDE POR “CADENA DE SUMINISTRO”?
Por Cadena de Suministro o Cadena de Abasto (en inglés, Supply Chain) se entiende la compleja serie de procesos de intercambio o flujo de materiales y de información que se establece tanto dentro de cada organización o empresa como fuera de ella, con sus respectivos proveedores y clientes.
Aunque en el cuerpo de conocimiento existe una clara diferencia entre "Cadena de Abasto" y "Logística", en la práctica diaria esa diferenciación se ha ido perdiendo, por lo que es común utilizar ambos términos indistintamente; sin embargo, es importante entender las definiciones precisas dadas por el Council of Supply Chain Management Professionals (CSCMP), la autoridad más importante en la materia a nivel mundial.
13. QUE SE CONSIDERA COMO STOCK DE SEGURIDAD?
Nivel de existencia mínimo que es necesario mantener para el desarrollo normal de la explotacion de una empresa.
La requisición de compra es el documento formal para solicitar al Departamento de Compras la adquisición de cualquier producto o material.
Sólo se recibirán requisiciones de compra llenadas en forma clara, completa y detallada con la información requerida en cada campo, presentando original y copia.
Todas las requisiciones deben ser autorizadas por el Director de División, así como por el responsable de ejercer el presupuesto.
La utilización de formatos para la requisición de artículos debe ser la mínima posible y el usuario deberá agrupar los artículos según su género.
Toda requisición de compra igual o mayor a $100,000.00 se someterá revisión del Comité de Compras. Este rubro incluye las compras por proyecto.
El Departamento de Compras tendrá información sobre la requisición en un plazo mínimo de 48 hrs. a partir de su recepción.
Es indispensable que el usuario conserve el número de pedido que le fue asignado a su requisición, sirviéndole también para cualquier aclaración durante el proceso.
Una orden de compra es una solicitud escrita a un proveedor, por determinados artículos a un precio convenido. La solicitud también especifica los términos de pago y de entrega.La orden de compra es una autorización al proveedor para entregar los artículos y presentar una factura.Todos los artículos comprados por una compañía deben acompañarse de las órdenes de compra, que se enumeran en serie con el fin de suministrar control sobre su uso.
El PERT (program Evaluation Review Technique o técnica de revisión y evaluación de programas)
Durante las primeras etapas del programa de desarrollo del proyectil submarino Polaris de la marina de los Estados Unidos, se abrió una oficina de proyectos Especiales para dirigir este enorme y complejo proyecto.
Además del trabajo de coordinar los esfuerzos de 11,000 contratistas, había incertidumbre respecto al momento en que pudieran terminarse las etapas cruciales de la investigación y el desarrollo.
El Sr, Williard Fazar de la oficina de Proyectos Especiales, con la ayuda de la División de Proyectiles y Asuntos Espaciales De la Lockheed y de consultores de Booz, Allen Y Hamilton, ideo la técnica PERT como un diagrama de flujo del tipo de red con incertidumbre incorporada. La técnica PERT trabajo bien desde el momento en que se la puso en acción, en 1958, el jefe del Proyecto Polaris, Vicealmirante W.F. Raborn, Jr, atribuye a esta técnica gran parte del crédito por el desarrollo del primer proyectil Polaris, realizado dos años antes del tiempo originalmente calculado.
Requisitos para transformar una grafica Gantt a una red PERT.
La grafica de metas intermedias de Gantt, antecesora de la técnica PERT, es la grafica que representa el trabajo por realizar. Tiene una escala de tiempo en su parte inferior, que representa las tareas o actividades especificas tocantes al proyecto total. La grafica de Gantt muestra las relaciones que existen entre las metas intermedias dentro de la misma actividad, pero no las relaciones entre las metas parciales que hay en las diferentes tareas.
La modificación de la grafica de metas intermedias de Gantt para mostrar las interrelaciones entre todas estas en un proyecto, se logra en tres pasos.
En el paso final se elimina el termino tarea o actividad, en vista de que todas las relaciones, sea cualquiera la tarea a la que se refieren, se representan con flechas.
Además se elimina la escala horizontal de tiempo de la grafica de Gantt y se reemplaza con el tiempo individual de cada una de las flechas. La transformación de la grafica de Gantt a la red PERT ya esta completa. Ahora se tienen todas las interrelaciones entre las metas intermediarias.
Problema del PERT/Tiempo.
La presentación concluye con un resumen de los pasos principales para la resolución de un problema de PERT/Tiempo.
Paso 1. Construcción de la red PERT. La red PERT tiene ciertas diferencias respecto a la grafica de Gantt. Lo primero que se debe de tomar en cuenta es la terminología . En una red PERT se trata de desarrollar una secuencia lógica de las actividades por realizar para llevar a cabo el proyecto y la correlación de estas actividades respecto al tiempo. 
Paso 5. Calculo de holgura. Al observar los eventos 2 y 4, que no están en la ruta critica, se podría tener un retraso hasta de dos semanas en la actividad 1-2 y hasta de 3 semanas en la 2-4, sin que por esto se afectara la conclusión de la red en 13.5 semanas. En consecuencia, la red permite ver en cuales actividades se puede y se debe ahorrar tiempo y en cuales otras se puede apresurar un poco el programa durante cierto periodo de tiempo, si resulta ventajoso hacerlo.
Al tiempo del que se dispone libremente en una red PERT, se lo conoce comúnmente como holgura y puede definirse en dos formas.
La holgura total es el tiempo que puede retractarse una actividad desde su iniciación, sin afectar el tiempo de de terminación del proyecto total.
La holgura libre de una actividad es el tiempo que puede retrasarse una actividad desde su iniciación, sin afectar la iniciación de las actividades subsiguientes. Es posible que una actividad puede tener holgura total, pero que no tenga holgura libre.
Los eventos y tiempos relacionados pueden reprogramarse en función de los eventos y de la magnitud de las holguras. Esto se hace al numerarlos, como en la tabla 5-1.Nótese que la holgura es nula para los eventos que están sobre la ruta critica.
Las actividades cuyos tiempos se determinaron pueden no tener efecto alguno sobre la ruta critica, aun cuando se retrasen respecto al programa. Sin embargo, otras actividades que se calcularon y refirieron al tiempo pueden estar sobre la ruta critica o pueden volverse criticas en una fecha posterior. Debe evaluarse el efecto de estas actividades en la ruta inicial.
Otro ajuste de la red seria restringir las especificaciones técnicas del proyecto, tales como reducir la cantidad de pruebas que se requieren. Si se pueden reordenar las actividades, será posible acelerar la terminación de un proyecto. Además, el uso del tiempo extra le proporciona flexibilidad adicional para la replaneacion y el ajuste de la red.
El encargado tiene a la mano varias alternativas para ajustar la o las rutas criticas con objeto de mejorar las fechas de determinación de todo el proyecto.
Paquetes PERT/Tiempo para computadora
Cuando una red esta formada por muy pocas actividades y eventos o cuando una persona tiene conocimientos relativos a todo el proyecto, las decisiones respecto a las(s) rutas(s) criticas(s) de la red inicial, el reordenamiento y la programación, no deben presentar dificultades.
Una computadora que acepte una rutina con un paquete PERT/Tiempo, proporciona un método para verificar al avance real al compararlo con el programa.
En un momento dado, puede determinar el tiempo de holgura de la red, por ejemplo esta semana.
También, la computadora puede proporcionar un reporte impreso de eventos (desde el primero hasta el ultimo), uno del tiempo mas tardío admisible y reportes departamentales para los eventos.
¿Cuál es el punto en el que el procedimiento manual y el de computadora se separan para elaborar una red de PERT/Tiempo?
Una red de 1000 actividades no podría manejarse correctamente mediante métodos manuales , porque un error podría significar la selección de la ruta critica equivocada.
Aproximadamente, 100 actividades con actualización semanal de cambios para producir una nueva ruta critica y los reportes al respecto, son el limite menor para acudir a la computadora..
La computadora tiene la capacidad de producir reportes ordenadamente con mayor rapidez y exactitud para todas las personas comprometidas, especialmente para aquellas que quieren los reportes del día anterior. La complejidad, la exactitud, la duración del proyecto, el numero de eventos y la frecuencia con que se produce la información deseada so los que determinan si se deben o no usar la computadora.
PERT/Costo
La técnica del PERT/Costo, desarrollada en 1962 como una extensión de la del PERT/Tiempo, integra los datos d tiempo con los datos de costo. Esta técnica incluye tanto al tiempo como al costo en una red, de manera que puedan calcularse los intercambios entre ambos.
Relación Tiempo/Costo. Para explicar la naturaleza de la técnica PERT /Costo, es esencial entender ciertos términos. En la red hay dos cálculos de tiempo y costo indicadas para cada actividad. Una de ellas es la estimación normal y otra la de la emergencia o de terminación acelerada. La estimación normal del tiempo es análoga al calculo del tiempo esperado. El costo normal asociado con la terminación del proyecto en el tiempo normal. La estimación del tiempo de emergencia o de terminación acelerada es el tiempo que se requeriría sino se ahorraran costos para tratar de reducir el tiempo del proyecto.
Las relaciones tiempo-costo pueden tomar muchas formas como se ilustra en la figura 5-14. El caso A es una relación de tiempo costo en la cual pueda efectuarse una reducción de tiempo con un moderado incremento del costo. En cambio, el caso B es una relación de tiempo-costo en la cual se puede lograr una reducción del tiempo con un gran incremento del costo. El tipo mas común de relación costo-tiempo es una línea recta trazada entre el caso A y el B, la cual es una aproximación lineal razonablemente exacta de la relación verdadera. Para demostrar el incremento moderado en el costo para el caso A y el incremento grande en el costo para el caso B, se transformaron varias líneas en la figura 5-14. Las líneas C,E,G y H están relacionadas con el caso B.
Además de los beneficios aprovechables por la gerencia, PERT proporciona una manera de pensar en todos los pasos e interrelaciones de un proyecto en forma de pensar en todos los pasos e interrelaciones de un proyecto en forma metódica, para reducir la posibilidad de pasar por alto ciertas actividades y eventos.
Hay ciertos proyectos en los que PERT puede o no ser útil, por ejemplo, los proyectos demasiado oscuros o variables para permitir cualquier clase de planeación metódica, y proyectos simples, aunque extensos, que abarcan solo una sucesión poco complicada de actividades de principio a fin.
Para las redes PERT/Costo, los costos son del 1 al 5 % sobre los costos totales del proyecto. La opinión general de las empresas que utilizan la tecnica PERT indica que los costos de esta no son un factor a considerar para decidir su utilización. Esto es fácil de comprender, puesto que hay ahorros en los costos directos y en los indirectos por la utilización de esta técnica, como se indico anteriormente. Como hay costos de planeación.
Durante las primeras etapas del programa de desarrollo del proyectil submarino Polaris de la marina de los Estados Unidos, se abrió una oficina de proyectos Especiales para dirigir este enorme y complejo proyecto.
Además del trabajo de coordinar los esfuerzos de 11,000 contratistas, había incertidumbre respecto al momento en que pudieran terminarse las etapas cruciales de la investigación y el desarrollo.
El Sr, Williard Fazar de la oficina de Proyectos Especiales, con la ayuda de la División de Proyectiles y Asuntos Espaciales De la Lockheed y de consultores de Booz, Allen Y Hamilton, ideo la técnica PERT como un diagrama de flujo del tipo de red con incertidumbre incorporada. La técnica PERT trabajo bien desde el momento en que se la puso en acción, en 1958, el jefe del Proyecto Polaris, Vicealmirante W.F. Raborn, Jr, atribuye a esta técnica gran parte del crédito por el desarrollo del primer proyectil Polaris, realizado dos años antes del tiempo originalmente calculado.
Requisitos para transformar una grafica Gantt a una red PERT.
La grafica de metas intermedias de Gantt, antecesora de la técnica PERT, es la grafica que representa el trabajo por realizar. Tiene una escala de tiempo en su parte inferior, que representa las tareas o actividades especificas tocantes al proyecto total. La grafica de Gantt muestra las relaciones que existen entre las metas intermedias dentro de la misma actividad, pero no las relaciones entre las metas parciales que hay en las diferentes tareas.
La modificación de la grafica de metas intermedias de Gantt para mostrar las interrelaciones entre todas estas en un proyecto, se logra en tres pasos.
- El primero es la eliminación de los rectángulos.
- El segundo consiste en sumar las relaciones que existen entre las metas intermedias de las diversas actividades.
El tercero es en que este tipo de relación es valido para todos los demás casos de la ilustración.
En el paso final se elimina el termino tarea o actividad, en vista de que todas las relaciones, sea cualquiera la tarea a la que se refieren, se representan con flechas.
Además se elimina la escala horizontal de tiempo de la grafica de Gantt y se reemplaza con el tiempo individual de cada una de las flechas. La transformación de la grafica de Gantt a la red PERT ya esta completa. Ahora se tienen todas las interrelaciones entre las metas intermediarias.
Problema del PERT/Tiempo.La presentación concluye con un resumen de los pasos principales para la resolución de un problema de PERT/Tiempo.
Paso 1. Construcción de la red PERT. La red PERT tiene ciertas diferencias respecto a la grafica de Gantt. Lo primero que se debe de tomar en cuenta es la terminología . En una red PERT se trata de desarrollar una secuencia lógica de las actividades por realizar para llevar a cabo el proyecto y la correlación de estas actividades respecto al tiempo.
El termino actividad (trabajo) se define como una etapa de trabajo de proyecto total y se representa con una flecha. El extremo de la flecha representa el comienzo de la actividad y la punta su terminación. La longitud, forma o posición de la flecha carecen de importancia.
Lo importante es la manera en que las actividades, representadas con flechas, se relacionan entre si, siguiendo una secuencia en cuanto al tiempo, en una red operacional.
Los puntos de iniciación y terminación de las actividades, que aparecen como números encerrados en círculos, reciben el nombre de eventos o nodos. Los eventos son puntos del tiempo contrastando con las actividades que tienen cierta duración o longitud. Los eventos se numeran en serie desde la iniciación hasta la terminación del proyecto.
El termino red se refiere a las actividades y eventos que se combinan, dando como resultado un diagrama. El mismo tipo de razonamiento se aplica a las demás actividades y eventos de la red PERT.
La red PERT que se acaba de discutir muestra relaciones simples de secuencia respecto al tiempo. A menudo las relaciones son mas complejas. En algunos casos, requieren del uso de flechas que no representan ninguna actividad y que solo se insertan para que el modelo de actividades sea claro. A estas se le llaman flechas ficticias, y se representan con flechas de líneas punteadas.
Paso 2. Calculo del tiempo esperado. Asignar tiempos a las actividades individuales es esencial para complementar una red PERT. ¿Debe hacerse tal asignación con base en el costo mínimo posible , sin tomar en cuenta al tiempo requerido; en el tiempo mas corto posible, sin considerar los costos; en algún punto de compromiso intermedio entre estas condiciones; o con alguna otra base?. Para contestar esta pregunta, es necesario, recurrir a al estadística , en particular a la curva con forma de campana y a ala distribución beta. Como se recordara, según la estadística, la mayoría de los grupos de datos tienden a formar una curva acampanada al trazarlos en un plano.
Sin embargo, algunas variables no siguen la distribución normal y no forman tal curva, sino por el contrario, definen una curva de forma asimétrica en una dirección.
La formula de aproximación desarrollada para el tiempo esperado de una actividad (te) es:
Los puntos de iniciación y terminación de las actividades, que aparecen como números encerrados en círculos, reciben el nombre de eventos o nodos. Los eventos son puntos del tiempo contrastando con las actividades que tienen cierta duración o longitud. Los eventos se numeran en serie desde la iniciación hasta la terminación del proyecto.
El termino red se refiere a las actividades y eventos que se combinan, dando como resultado un diagrama. El mismo tipo de razonamiento se aplica a las demás actividades y eventos de la red PERT.
La red PERT que se acaba de discutir muestra relaciones simples de secuencia respecto al tiempo. A menudo las relaciones son mas complejas. En algunos casos, requieren del uso de flechas que no representan ninguna actividad y que solo se insertan para que el modelo de actividades sea claro. A estas se le llaman flechas ficticias, y se representan con flechas de líneas punteadas.
Paso 2. Calculo del tiempo esperado. Asignar tiempos a las actividades individuales es esencial para complementar una red PERT. ¿Debe hacerse tal asignación con base en el costo mínimo posible , sin tomar en cuenta al tiempo requerido; en el tiempo mas corto posible, sin considerar los costos; en algún punto de compromiso intermedio entre estas condiciones; o con alguna otra base?. Para contestar esta pregunta, es necesario, recurrir a al estadística , en particular a la curva con forma de campana y a ala distribución beta. Como se recordara, según la estadística, la mayoría de los grupos de datos tienden a formar una curva acampanada al trazarlos en un plano.
Sin embargo, algunas variables no siguen la distribución normal y no forman tal curva, sino por el contrario, definen una curva de forma asimétrica en una dirección.
La formula de aproximación desarrollada para el tiempo esperado de una actividad (te) es:
te= a+4m+b
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Cuando se aplica esta formula a una curva acampanada normal, el valor calculado de te representa el valor del centro de la curva, que es el que se desea con este tipo de curva. Tómese como ejemplo dos curvas asimétricas, trazándolas con una distribución beta. Los primeros cálculos de tiempo para una distribución beta que muestren los tiempos esperados (en semanas), a la derecha de los tiempos mas probables son: a= 4 (mas optimista), m=6 (mas probable) y b =15 (mas pesimista).
El tiempo esperado te representa el valor específico del tiempo (horas, días, semanas o alguna otra base). Si se traza una línea perpendicular para el valor te aproximadamente la mitad del área comprendida en la curva estará a cada lado de esta línea. En una curva acampanada normal, como se dijo previamente, el tiempo mas probable es el tiempo promedio o tiempo esperado.
6
Cuando se aplica esta formula a una curva acampanada normal, el valor calculado de te representa el valor del centro de la curva, que es el que se desea con este tipo de curva. Tómese como ejemplo dos curvas asimétricas, trazándolas con una distribución beta. Los primeros cálculos de tiempo para una distribución beta que muestren los tiempos esperados (en semanas), a la derecha de los tiempos mas probables son: a= 4 (mas optimista), m=6 (mas probable) y b =15 (mas pesimista).
El tiempo esperado te representa el valor específico del tiempo (horas, días, semanas o alguna otra base). Si se traza una línea perpendicular para el valor te aproximadamente la mitad del área comprendida en la curva estará a cada lado de esta línea. En una curva acampanada normal, como se dijo previamente, el tiempo mas probable es el tiempo promedio o tiempo esperado.
Paso 3. Determinación del tiempo más próximo y mas tardío. Antes de que suceda pueda determinarse la ruta critica, debe tenerse mas información acerca del tiempo del evento, es decir, acerca del tiempo que se requiere para lograr el evento de un proyecto.
Un evento puede tener uno o mas valores, depende de la relación actividad-tiempo. Muchos eventos tienen una gama de tiempos de eventos posibles. Para determinar el tiempo del evento, se necesita conocer la flecha esperada más próxima, medida desde la iniciación del proyecto y una fecha admisible más lejana, medida desde la terminación del proyecto.
De modo semejante, se necesita conocer la fecha mas tardía o mas lejana en la que se puedan construir las actividades que tienen su termino en un evento y que aun permiten que el proyecto integro se termine como lo indica el programa. A esto se le llama el tiempo mas tardío.
Cuando hay dos o mas actividades que llegan hasta un evento, el tiempo esperado mas próximo para este evento en particular requiere de una elección.
Tiempo mas tardío (tl), como se dijo previamente, es la fecha mas lejana en la que se puede terminar cada actividad, permitiendo aun que el proyecto total se concluya a tiempo. Para calcular los tiempos mas tardíos admisibles (que aparecen en círculos), se comienza al final del proyecto, con un tiempo mas tardío esperado de 13.5 semanas después del tiempo 0 para el evento 7.
Paso 4. Determinación de la ruta o rutas criticas. La ruta critica en la red, es el trayecto del tiempo mas largo que cruza, o sea, 0-1-36-7. Cada uno de los eventos de la ruta critica, su tiempo mas próximo, te, es igual a su tiempo mas tardío Tl. Esto significa que el tiempo mas tardío admisible en el que puede esperarse que se termine. En consecuencia, no hay tiempo de holgura o de sibra, los eventos deben realizarse exactamente de acuerdo al programa, para cumplir con el tiempo de terminación de 13.5 semanas.
Un evento puede tener uno o mas valores, depende de la relación actividad-tiempo. Muchos eventos tienen una gama de tiempos de eventos posibles. Para determinar el tiempo del evento, se necesita conocer la flecha esperada más próxima, medida desde la iniciación del proyecto y una fecha admisible más lejana, medida desde la terminación del proyecto.
De modo semejante, se necesita conocer la fecha mas tardía o mas lejana en la que se puedan construir las actividades que tienen su termino en un evento y que aun permiten que el proyecto integro se termine como lo indica el programa. A esto se le llama el tiempo mas tardío.
Cuando hay dos o mas actividades que llegan hasta un evento, el tiempo esperado mas próximo para este evento en particular requiere de una elección.
Tiempo mas tardío (tl), como se dijo previamente, es la fecha mas lejana en la que se puede terminar cada actividad, permitiendo aun que el proyecto total se concluya a tiempo. Para calcular los tiempos mas tardíos admisibles (que aparecen en círculos), se comienza al final del proyecto, con un tiempo mas tardío esperado de 13.5 semanas después del tiempo 0 para el evento 7.
Paso 4. Determinación de la ruta o rutas criticas. La ruta critica en la red, es el trayecto del tiempo mas largo que cruza, o sea, 0-1-36-7. Cada uno de los eventos de la ruta critica, su tiempo mas próximo, te, es igual a su tiempo mas tardío Tl. Esto significa que el tiempo mas tardío admisible en el que puede esperarse que se termine. En consecuencia, no hay tiempo de holgura o de sibra, los eventos deben realizarse exactamente de acuerdo al programa, para cumplir con el tiempo de terminación de 13.5 semanas.
Paso 5. Calculo de holgura. Al observar los eventos 2 y 4, que no están en la ruta critica, se podría tener un retraso hasta de dos semanas en la actividad 1-2 y hasta de 3 semanas en la 2-4, sin que por esto se afectara la conclusión de la red en 13.5 semanas. En consecuencia, la red permite ver en cuales actividades se puede y se debe ahorrar tiempo y en cuales otras se puede apresurar un poco el programa durante cierto periodo de tiempo, si resulta ventajoso hacerlo.
Al tiempo del que se dispone libremente en una red PERT, se lo conoce comúnmente como holgura y puede definirse en dos formas.
La holgura total es el tiempo que puede retractarse una actividad desde su iniciación, sin afectar el tiempo de de terminación del proyecto total.
La holgura libre de una actividad es el tiempo que puede retrasarse una actividad desde su iniciación, sin afectar la iniciación de las actividades subsiguientes. Es posible que una actividad puede tener holgura total, pero que no tenga holgura libre.
Los eventos y tiempos relacionados pueden reprogramarse en función de los eventos y de la magnitud de las holguras. Esto se hace al numerarlos, como en la tabla 5-1.Nótese que la holgura es nula para los eventos que están sobre la ruta critica.
Paso 6. Evaluación de la red PERT . Una vez que se trazo la red, que se evaluaron todos los tiempos calculados (Te1 , Tl1 Te y las holguras) y que se determino la ruta o rutas criticas, es cuando realmente comienza la tarea de la técnica PERT.
Las actividades cuyos tiempos se determinaron pueden no tener efecto alguno sobre la ruta critica, aun cuando se retrasen respecto al programa. Sin embargo, otras actividades que se calcularon y refirieron al tiempo pueden estar sobre la ruta critica o pueden volverse criticas en una fecha posterior. Debe evaluarse el efecto de estas actividades en la ruta inicial.
Otro ajuste de la red seria restringir las especificaciones técnicas del proyecto, tales como reducir la cantidad de pruebas que se requieren. Si se pueden reordenar las actividades, será posible acelerar la terminación de un proyecto. Además, el uso del tiempo extra le proporciona flexibilidad adicional para la replaneacion y el ajuste de la red.
El encargado tiene a la mano varias alternativas para ajustar la o las rutas criticas con objeto de mejorar las fechas de determinación de todo el proyecto.
Paquetes PERT/Tiempo para computadora
Cuando una red esta formada por muy pocas actividades y eventos o cuando una persona tiene conocimientos relativos a todo el proyecto, las decisiones respecto a las(s) rutas(s) criticas(s) de la red inicial, el reordenamiento y la programación, no deben presentar dificultades.
Una computadora que acepte una rutina con un paquete PERT/Tiempo, proporciona un método para verificar al avance real al compararlo con el programa.
En un momento dado, puede determinar el tiempo de holgura de la red, por ejemplo esta semana.
También, la computadora puede proporcionar un reporte impreso de eventos (desde el primero hasta el ultimo), uno del tiempo mas tardío admisible y reportes departamentales para los eventos.
¿Cuál es el punto en el que el procedimiento manual y el de computadora se separan para elaborar una red de PERT/Tiempo?
Una red de 1000 actividades no podría manejarse correctamente mediante métodos manuales , porque un error podría significar la selección de la ruta critica equivocada.
Aproximadamente, 100 actividades con actualización semanal de cambios para producir una nueva ruta critica y los reportes al respecto, son el limite menor para acudir a la computadora..
La computadora tiene la capacidad de producir reportes ordenadamente con mayor rapidez y exactitud para todas las personas comprometidas, especialmente para aquellas que quieren los reportes del día anterior. La complejidad, la exactitud, la duración del proyecto, el numero de eventos y la frecuencia con que se produce la información deseada so los que determinan si se deben o no usar la computadora.
PERT/Costo
La técnica del PERT/Costo, desarrollada en 1962 como una extensión de la del PERT/Tiempo, integra los datos d tiempo con los datos de costo. Esta técnica incluye tanto al tiempo como al costo en una red, de manera que puedan calcularse los intercambios entre ambos.
Relación Tiempo/Costo. Para explicar la naturaleza de la técnica PERT /Costo, es esencial entender ciertos términos. En la red hay dos cálculos de tiempo y costo indicadas para cada actividad. Una de ellas es la estimación normal y otra la de la emergencia o de terminación acelerada. La estimación normal del tiempo es análoga al calculo del tiempo esperado. El costo normal asociado con la terminación del proyecto en el tiempo normal. La estimación del tiempo de emergencia o de terminación acelerada es el tiempo que se requeriría sino se ahorraran costos para tratar de reducir el tiempo del proyecto.
Las relaciones tiempo-costo pueden tomar muchas formas como se ilustra en la figura 5-14. El caso A es una relación de tiempo costo en la cual pueda efectuarse una reducción de tiempo con un moderado incremento del costo. En cambio, el caso B es una relación de tiempo-costo en la cual se puede lograr una reducción del tiempo con un gran incremento del costo. El tipo mas común de relación costo-tiempo es una línea recta trazada entre el caso A y el B, la cual es una aproximación lineal razonablemente exacta de la relación verdadera. Para demostrar el incremento moderado en el costo para el caso A y el incremento grande en el costo para el caso B, se transformaron varias líneas en la figura 5-14. Las líneas C,E,G y H están relacionadas con el caso B.
Como ya se ha enfatizado, la razón para tratar a una relación de tiempo-costo como una línea recta, es que cada reducción unitaria en tiempo produce un incremento igual en el costo. El costo incremental, ic, es el costo de terminación acelerada Cc, menos el costo normal NC, dividido entre el tiempo normal NT menos el tiempo de terminación acelerada Ct.
Lo anterior se expresa como sigue:
Ic= Cc- Nc
Nr- Ct
Paquetes PERT/Costo para computadora
El ejemplo dela técnica PERT/costo tiene por objeto demostrar los principios y procedimientos que se siguen para reducir un proyecto. Aun en este ejmplo relativamente simple se presentaron algunas complicaciones al buscar las diversas conminaciones de actividades para obtener el mínimo costo adicional para el proyecto que se trataba de comprimir. Obviamente, es difícil enfocar un problema de PERT/costo manualmente, generalmente se requiere de un programa por computadora.
Probabilidad de terminar un proyecto PERT
Los enfoques del PERT que se acaban de presentar pueden ampliarse si se determina la probabilidad de terminación de un proyecto, para lo cual se necesita calcular la desviación estándar de una actividad. Como se han hecho cálculos de tres tiempos (a, my b), la distancia entre el tiempo a y el b representa la distancia del extremo izquierdo al extremo derecho de una distribución de los tiempos posibles de las actividades. Esta distancia puede representarse por aproximadamente + 3 desviaciones estándar (σ), que puede expresarse matemáticamente como sigue:
6σ = b – a
Σ = b – a
6
En consecuencia, una desviación estándar para una actividad es igual a ( b – a) /6.
Ventajas del PERT
Algunas de las ventajas de la técnica PERT son evidentes tras de estudiar el material en discusión. Desde el punto de vista de la gerencia, PERT especifica la forma en que se ha de hacer la planeación. Proporciona a la gerencia un enfoque para mantener la planeación actualizada al irse cumpliendo los diversos eventos y a medida que las condiciones cambian.
Lo anterior se expresa como sigue:
Ic= Cc- Nc
Nr- Ct
Paquetes PERT/Costo para computadora
El ejemplo dela técnica PERT/costo tiene por objeto demostrar los principios y procedimientos que se siguen para reducir un proyecto. Aun en este ejmplo relativamente simple se presentaron algunas complicaciones al buscar las diversas conminaciones de actividades para obtener el mínimo costo adicional para el proyecto que se trataba de comprimir. Obviamente, es difícil enfocar un problema de PERT/costo manualmente, generalmente se requiere de un programa por computadora.
Probabilidad de terminar un proyecto PERT
Los enfoques del PERT que se acaban de presentar pueden ampliarse si se determina la probabilidad de terminación de un proyecto, para lo cual se necesita calcular la desviación estándar de una actividad. Como se han hecho cálculos de tres tiempos (a, my b), la distancia entre el tiempo a y el b representa la distancia del extremo izquierdo al extremo derecho de una distribución de los tiempos posibles de las actividades. Esta distancia puede representarse por aproximadamente + 3 desviaciones estándar (σ), que puede expresarse matemáticamente como sigue:
6σ = b – a
Σ = b – a
6
En consecuencia, una desviación estándar para una actividad es igual a ( b – a) /6.
Ventajas del PERT
Algunas de las ventajas de la técnica PERT son evidentes tras de estudiar el material en discusión. Desde el punto de vista de la gerencia, PERT especifica la forma en que se ha de hacer la planeación. Proporciona a la gerencia un enfoque para mantener la planeación actualizada al irse cumpliendo los diversos eventos y a medida que las condiciones cambian.
PERT permite a la gerencia prever rápidamente el efecto de las desviaciones respecto al plan, y en consecuencia realizar una acción correctiva anticipada en las áreas con problemas latentes y ni después de que los casos ocurran.
Por regla general, de acuerdo a la experiencia, solo el 10% de las actividades de un proyecto se vuelven o son críticas en un momento dado. Probablemente la ventaja principal del PERT es que ayuda a la gerencia a logar un objetivo o a terminar un proyecto con el gasto mínimo del tiempo y costo.
Además de los beneficios aprovechables por la gerencia, PERT proporciona una manera de pensar en todos los pasos e interrelaciones de un proyecto en forma de pensar en todos los pasos e interrelaciones de un proyecto en forma metódica, para reducir la posibilidad de pasar por alto ciertas actividades y eventos.
Otra ventaja importante de PERT es que proporciona un número de verificaciones y salvaguardas para evitar que se incurra en errores al desarrollar un plan; es decir, al hacer la red, el diagrama de las flechas debe mostrar exactamente que actividades preceden y siguen a cada una de las actividades componentes de un proyecto.
Aun cuando esta técnica cuantitativa tiene origen en las matemáticas avanzadas, su ejecución requiere únicamente de la aritmética simple. Esto tiene gran contraste con otras técnicas matemáticas.
Otra característica valiosa del PERT es su flexibilidad, que permite grados variables de refinamiento y el empleo de procedimientos de costeo, dependiendo de las necesidades del proyecto.
PERT puede ser útil con un dispositivo de simulación. Permite la formulación y evaluación de planes alternativos antes de su implantación.
Desventajas del PERT
A pesar de las muchas ventajas que se acaban de citar, hay algunas desventajas que mencionar al respecto a la red de PERT. Estudios hechos por diversas empresas de buena reputación señalan que algunos problemas dignos de discutir, el primero se refiere a la garantía de estimaciones realistas de tiempo y costo.
Desventajas del PERT
A pesar de las muchas ventajas que se acaban de citar, hay algunas desventajas que mencionar al respecto a la red de PERT. Estudios hechos por diversas empresas de buena reputación señalan que algunos problemas dignos de discutir, el primero se refiere a la garantía de estimaciones realistas de tiempo y costo.
Esto es particularmente claro cuando se emprende un proyecto nuevo y diferente, por lo que existe poca experiencia. Se considera un serio problema el logar la aceptación conjunta de operación y de la gerencia. Esto nace de la resistencia natural de la gente a aceptar y efectuar cambios. El adiestramiento del personal puede ser un problema importante y surge la resistencia al cambio y del tiempo requerido para aprender la técnica PERT eficazmente.
Desarrollar una red clara y lógica es otra área de cierta dificultad. Parece no haber manera de asegurarse de que la red refleje con exactitud la concepción optima de los encargados de planear el trabajo. Esta dificultad proviene del hecho de que la técnica PERT no es mejor que las personas que aportan la información.
Una de las áreas de problemas que más se mencionan, en la técnica PERT, es la determinación del nivel correcto de detalle de la red. Esto es en realidad, un asunto de criterio y experiencia. Muchas compañías tienden a variar el detalle de las redes, dependiendo del nivel administrativo al que se dirija y de la utilización que vaya a dárseles.
Hay ciertos proyectos en los que PERT puede o no ser útil, por ejemplo, los proyectos demasiado oscuros o variables para permitir cualquier clase de planeación metódica, y proyectos simples, aunque extensos, que abarcan solo una sucesión poco complicada de actividades de principio a fin.
Otras dificultades son las que presentan las técnicas de integración de redes con los procedimientos existentes se presupuestacion y contabilidad y la elaboración de estimaciones provisionales por personal que sabe que se revisaran cuidadosamente los tiempos y los costos. Pueden presentarse problemas en el manejo de los recursos para realizar varios programas a la vez. Puede presentarse además la dificultad de integrar proyectos manejados pro PERT con proyectos no manejados por PERT.
Costo de utilización de la Técnica PERT
La variedad de las condiciones actuales en las empresas impide decir con precisión cuanto puede costar la aplicación de la técnica PERT. Unas empresas los califican de costos demasiado elevados, mientras que otras los consideran moderados o mínimos. El costo de las redes PERT/Tiempo varía de 0.5 a 2% los costos totales del proyecto.
Costo de utilización de la Técnica PERT
La variedad de las condiciones actuales en las empresas impide decir con precisión cuanto puede costar la aplicación de la técnica PERT. Unas empresas los califican de costos demasiado elevados, mientras que otras los consideran moderados o mínimos. El costo de las redes PERT/Tiempo varía de 0.5 a 2% los costos totales del proyecto.
Para las redes PERT/Costo, los costos son del 1 al 5 % sobre los costos totales del proyecto. La opinión general de las empresas que utilizan la tecnica PERT indica que los costos de esta no son un factor a considerar para decidir su utilización. Esto es fácil de comprender, puesto que hay ahorros en los costos directos y en los indirectos por la utilización de esta técnica, como se indico anteriormente. Como hay costos de planeación.
El costo marginal que representa la utilización del PERT debe compararse con sus ahorros marginales. Tal análisis favorece generalmente la implantación de la técnica PERT, lo que se comprende fácilmente, ya que la reducción del tiempo y delos trabajadores, que es el costo principal de la mayoría de los proyectos, representa grandes economías en los costos.
sábado, 19 de abril de 2008
metodo de la gran "M"
Para el caso de minimizar Z=Cx+11W sujeta a las restricciones y penalizando a Zw1-Cw.
*Condicion de introducción de las variables
Restricción > resta
Restricción < suma
Ejemplo:
3x1+5x2>25 -Mw
2x1-4x2<28 +Mw
4x1-3x2=15
EJERCICIO:
U SANDO EL METODO DE LA GRAN M, TABULAR EL SIGUIENTE SISTEMA DE INECUACIONES.
min z = 3x1+5x2
Sujeta a: X1< 4
X2< 6
3x1+2x2> 18
*X1, X2 > 0
* Z= 3x1-5x2
X1 +X3
X2 +X4 =6
3X1+2X2 -X5 = 18
X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , > 0
H X1 X2 X3 X4 X5 W1
VECTORES 1 -3 5 0 0 0 M 0 *funcion objetivo
a 0 1 0 1 0 0 0 4
a 0 0 1 0 1 0 0 6
a 0 3 2 0 0 -1 1 18
W= 0
W> 0
Debido a que M es un valor positivo suficientemente grande, la variable A1 se penaliza en la funcios objetivo utilizando – Ma para maximización y +Ma en el caso de minimización.
Solo las restricciones que tengan “<” (lados derechos no negativos) se consideran con solucion basica factible, con posibilidad de iniciar un procedimiento simplex; las restricciones restantes “=” y “>” se debe considerar una variable de holgura, por no tener solucion basica factible.
Pasar a la forma estandar el modelo matematico.
Agregar variable artificial donde no hay variable ni holgura.
Penalizar las variables artificiales en la funcion objetivo asignando coeficiente positivo muy grande “M” Minimizar y Maximizar –“M”.Quitar las “M” de la columna artificial ya teniendo solucion inicial.
1. Se aplica el metodo simples usando el metodo de la gran “M” maximizar Z= 3x1+5x2
X1 < 4
2x2 < 8
3x1+2x2 <> 0
La funcion objetivo se debe penalizar con –Ma1 por ser maximización y para hacer a Z= 0; Z-3X1-5X2+Ma1=0 las restricciones quedaran
X1+M1=4
2x2+M2=12
3x1+2x2+A1=18
BASE Z X1 X2 M1 M2 A1 SOLUCION
Z 1 -3 -5 0 0 11 0
M1 0 1 0 1 0 0 4
M2 0 0 2 0 1 0 12
A1 0 0 2 0 0 1 0
BASE Z X1 X2 M1 M2 A1 SOLUCION
Z 1 0 -2m5 3y3 0 0 -6
X1 0 1 0 1 0 0 4
M2 0 0 2 0 1 0 12
A1 0 0 2 -3 0 1 6
BASE Z X1 X2 M1 M2 A1 SOLUCION
Z 1 0 0 -9/12 0 -3/2 27
X1 0 1 0 1 0 0 4
M2 0 0 0 3 1 1 6
X2 0 0 1 -3/2 0 1/2 3
BASE Z X1 X2 M1 M2 A1 SOLUCION
Z 1 0 0 0 3/2 M+1 36
X1 0 1 0 0 1/3 1/3 2
M1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2
X2 0 0 0 0 1/2 1 6
X1 = 2 Z= 3x1+5x2
X2 = 6 Z= 3(2)+5(6)
M1 = 2 Z= 6+30
Z= 36
X1+M1=4 2+2=4
2X2+M2=12 2(6)+0=12
3X1+2X2+A1=18 3(2)+2(6)+0=18
*Condicion de introducción de las variables
Restricción > resta
Restricción < suma
Ejemplo:
3x1+5x2>25 -Mw
2x1-4x2<28 +Mw
4x1-3x2=15
EJERCICIO:
U SANDO EL METODO DE LA GRAN M, TABULAR EL SIGUIENTE SISTEMA DE INECUACIONES.
min z = 3x1+5x2
Sujeta a: X1< 4
X2< 6
3x1+2x2> 18
*X1, X2 > 0
* Z= 3x1-5x2
X1 +X3
X2 +X4 =6
3X1+2X2 -X5 = 18
X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , > 0
H X1 X2 X3 X4 X5 W1
VECTORES 1 -3 5 0 0 0 M 0 *funcion objetivo
a 0 1 0 1 0 0 0 4
a 0 0 1 0 1 0 0 6
a 0 3 2 0 0 -1 1 18
W= 0
W> 0
Debido a que M es un valor positivo suficientemente grande, la variable A1 se penaliza en la funcios objetivo utilizando – Ma para maximización y +Ma en el caso de minimización.
Solo las restricciones que tengan “<” (lados derechos no negativos) se consideran con solucion basica factible, con posibilidad de iniciar un procedimiento simplex; las restricciones restantes “=” y “>” se debe considerar una variable de holgura, por no tener solucion basica factible.
Pasar a la forma estandar el modelo matematico.
Agregar variable artificial donde no hay variable ni holgura.
Penalizar las variables artificiales en la funcion objetivo asignando coeficiente positivo muy grande “M” Minimizar y Maximizar –“M”.Quitar las “M” de la columna artificial ya teniendo solucion inicial.
1. Se aplica el metodo simples usando el metodo de la gran “M” maximizar Z= 3x1+5x2
X1 < 4
2x2 < 8
3x1+2x2 <> 0
La funcion objetivo se debe penalizar con –Ma1 por ser maximización y para hacer a Z= 0; Z-3X1-5X2+Ma1=0 las restricciones quedaran
X1+M1=4
2x2+M2=12
3x1+2x2+A1=18
BASE Z X1 X2 M1 M2 A1 SOLUCION
Z 1 -3 -5 0 0 11 0
M1 0 1 0 1 0 0 4
M2 0 0 2 0 1 0 12
A1 0 0 2 0 0 1 0
BASE Z X1 X2 M1 M2 A1 SOLUCION
Z 1 0 -2m5 3y3 0 0 -6
X1 0 1 0 1 0 0 4
M2 0 0 2 0 1 0 12
A1 0 0 2 -3 0 1 6
BASE Z X1 X2 M1 M2 A1 SOLUCION
Z 1 0 0 -9/12 0 -3/2 27
X1 0 1 0 1 0 0 4
M2 0 0 0 3 1 1 6
X2 0 0 1 -3/2 0 1/2 3
BASE Z X1 X2 M1 M2 A1 SOLUCION
Z 1 0 0 0 3/2 M+1 36
X1 0 1 0 0 1/3 1/3 2
M1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2
X2 0 0 0 0 1/2 1 6
X1 = 2 Z= 3x1+5x2
X2 = 6 Z= 3(2)+5(6)
M1 = 2 Z= 6+30
Z= 36
X1+M1=4 2+2=4
2X2+M2=12 2(6)+0=12
3X1+2X2+A1=18 3(2)+2(6)+0=18
viernes, 18 de abril de 2008
MÉTODO DE LAS DOS FASES
CONSIDERAR:
A) Minimización, se resuelve como se indicador el metodo simples.
B) Maximización, se resuelve como minimización para la primera fase; la segunda fase ya es maximización.
VARIABLE ARTIFICIAL
Donde existe una fase cuyo objetivo es encontrar una solución o verificar un sistema.
Z= CX+MW
Agregar variables artificiales que no tuenen variables de holgura.
Penalizar variables artificiales en la F.O. asignándoles coeficientes grandes:
En minimizar se suma
En maximización se resta -> la penalización
4 .En la F.O. no deben aparecer variables básicas eliminar v. artificiales.
5. Aplicar método simplex.
Nota: Cuando las variables artificiales básicas tienen “igual a cero”, la solución si es factible.
TEORIA DE LA GRAN “M”
Existen problemas de programación lineal, donde el método simples ya conocido es funcional, debido a que los valores de una o mas variables básicas son negativas, y eso que significa que esta violando el principio de no negatividad en las restricciones, para ello, el problema se podrá resolver por otros métodos que son:
A) El método de la gran “M” (PENALIZACION).
B) El método de las dos fases.
EL METODO DE LA GRAN “M”
PENALIZACION
Consiste en modificar el problema original para dar lugar a un nuevo problema agregando una W llamada artificial y se penalizara mediante un costo “M”, de valores grandes y positivos en forma arbitraria , y eso permite que la función objetivo tome valores muy grandes también cuando sea minimización.
Llegara el momento en que W salga de la base en ese momento W=0 y esto indica a ver regresado al problema original, pero si se llega A W>0, entonces el problema no tiene solución.
metodo de transporte
METODO DE TRANSPORTE.
Es una forma del metodo simple y de P.L. para resolver situaciones de ORIGEN DESTINO basandose en el metodo de la esquina noroeste.
EMPRESA $ 1 PROV 1 CLIENTE1 CAP PRODUCC
2 PROV 2 10 K 5K 8K 10 <
3 PROV 3 15 K 13K 14K 15<
4 PROV 4 8 K 7K 10K 13<
Nos da la oferta y la demanda.
EJERCICIO:Supongamos que una empresa transnacional que tiene tres plantas x,w,y,,y,estas surgen de un producto a 7 almacenes Abcdefg que forma parte del grupo empresarial debemos considerar lo relacionado al costo del transporte desde la planta a cada almacen
ORIGEN PLANTA OFERTA ALMACEN DESTINO DEMAN
CAP DE PRODUCCION REQ.V
W 7,000 A 1,000
X 4,000 B 2,000
Y 10,000 C 4,500
D 4,000
E 2,000
F 3,500
G 3,000
A B C D E F G OFERTA
1,000 2,000 4,000
W 6 7 5 4 3 6 5 7000
X 10 5 4 5 4 3 2 4000
Y 4 5 3 6 5 9 4 10,000 1,000
DEMANDA 1,000 2,000 4,500 4,000 2,000 3,500 5,000 21,000 21,500
2,000
0 0 500 500 0 0 0
RUTA DE UNIDADES COSTO X COSTO TOTAL
DISTRIBUCION ENVIADAS UNIDAD MINIMO
W-A 1000 6,7 6,000
W-B 2,000 5 14,000
W-C 4,000 4 20,000
X-C 500 5 2,000
X-D 3,500 6 17,500
Y-D 500 5 3,000
Y-E 2,000 9 10,000
Y-F 3,500 4 31,500
Y-G 3,000 12,000
COSTO TOTAL MINIMO $ 116,000
Es una forma del metodo simple y de P.L. para resolver situaciones de ORIGEN DESTINO basandose en el metodo de la esquina noroeste.
EMPRESA $ 1 PROV 1 CLIENTE1 CAP PRODUCC
2 PROV 2 10 K 5K 8K 10 <
3 PROV 3 15 K 13K 14K 15<
4 PROV 4 8 K 7K 10K 13<
Nos da la oferta y la demanda.
EJERCICIO:Supongamos que una empresa transnacional que tiene tres plantas x,w,y,,y,estas surgen de un producto a 7 almacenes Abcdefg que forma parte del grupo empresarial debemos considerar lo relacionado al costo del transporte desde la planta a cada almacen
ORIGEN PLANTA OFERTA ALMACEN DESTINO DEMAN
CAP DE PRODUCCION REQ.V
W 7,000 A 1,000
X 4,000 B 2,000
Y 10,000 C 4,500
D 4,000
E 2,000
F 3,500
G 3,000
A B C D E F G OFERTA
1,000 2,000 4,000
W 6 7 5 4 3 6 5 7000
X 10 5 4 5 4 3 2 4000
Y 4 5 3 6 5 9 4 10,000 1,000
DEMANDA 1,000 2,000 4,500 4,000 2,000 3,500 5,000 21,000 21,500
2,000
0 0 500 500 0 0 0
RUTA DE UNIDADES COSTO X COSTO TOTAL
DISTRIBUCION ENVIADAS UNIDAD MINIMO
W-A 1000 6,7 6,000
W-B 2,000 5 14,000
W-C 4,000 4 20,000
X-C 500 5 2,000
X-D 3,500 6 17,500
Y-D 500 5 3,000
Y-E 2,000 9 10,000
Y-F 3,500 4 31,500
Y-G 3,000 12,000
COSTO TOTAL MINIMO $ 116,000
metodo de transportacion
METODO DE TRANSPORTACION.
EJEMPLO: La compañía azul celeste aplica y vende fertilizante de aplicación general, la compañía aplica fertilizante entre tres plantas distintas y envia el producto final 24 almacenes diferentes ubicados en diversos puntos del pais.
Puesto que en algunas operaciones productivas han existido durante mas tiempo que otras, hay diferentes costos de producción en las distintas plantas.
En la tabla siguiente se representan los costos de producción en $ por tonelada, capacidad para la planta y requerimientos de los cuatro almcenes.
Asi mismo los precios de venta de los productos los cuales debido a que cada almacen opera en forma directa, los precios por tonelada en los respectivos almacenes difieren un poco. El objetivo de los administradores de la compañía es maximizar las utilidades totales para ella deben de considerar ademas los costos de transporte asociados con el envio del producto de una planta determinada a un almacen en especifico.
EJEMPLO: La compañía azul celeste aplica y vende fertilizante de aplicación general, la compañía aplica fertilizante entre tres plantas distintas y envia el producto final 24 almacenes diferentes ubicados en diversos puntos del pais.
Puesto que en algunas operaciones productivas han existido durante mas tiempo que otras, hay diferentes costos de producción en las distintas plantas.
En la tabla siguiente se representan los costos de producción en $ por tonelada, capacidad para la planta y requerimientos de los cuatro almcenes.
Asi mismo los precios de venta de los productos los cuales debido a que cada almacen opera en forma directa, los precios por tonelada en los respectivos almacenes difieren un poco. El objetivo de los administradores de la compañía es maximizar las utilidades totales para ella deben de considerar ademas los costos de transporte asociados con el envio del producto de una planta determinada a un almacen en especifico.
PLANTA COST .PROD COSTO DE TRANSPORTE CAP. TOTAL
1 $38 23 18 21 25 650
2 $35 21 24 23 18 600
3 $30 28 21 27 23 600
PRECIO 0 62 63 64 64
VIA
DEMANDA 0 300 450 500 500 1850/1850
TONELADA
CT= 23 (300)+18 (350)+24 (100)+23(500)+27(100)+23(500)=
CT= 41.300
CP= 38(300)+38(350)+35(100)+25(500)+30(100)+30(500)=
CP= 63,700
CV= 62(300)+63(350)+63(100)+64(500)+64(100)+64(500)
CV= 117.350
U= CV-CP-CT
U=117,350-63,700-41,300
U= 12,250
METODO DUAL (PRIMAL)
Para cualquier problema de programación lineal (primal), debe tener su metodología (dual); el problema primal puede tener mas restricciones que variables, esto significa la solucion dual, y debe resolverse con nuevas restricciones.
Si el primal se refiere a Maximizar el problema dual sera Minimizar.
Los coeficientes de la funcion objetivo del primal seran los coeficientes del vector de disponibilidad de recursos en el Dual.
Asi, los coeficientes del vector disponibilidad de recursos del problema primal seran los coeficientes de la funcion objetivo (vector, costos de precios, o utilidad) en el problema dual.
Los coeficientes de las restricciones en el primal (transpuesta de la matriz, sera la matriz de los coeficientes en el dual).
Los signos de desigualdad del problema Dualson contrarios a los del problema primal.
Las variables “X” del primal se convierten en nuevas variables “Y” en el Dual.
Considerando el siguiente problema, calcular su modelo PRIMARIO, DUAL.
Sea Max Z= 3x+5y DualPara cualquier problema de programación lineal (primal), debe tener su metodología (dual); el problema primal puede tener mas restricciones que variables, esto significa la solucion dual, y debe resolverse con nuevas restricciones.
Si el primal se refiere a Maximizar el problema dual sera Minimizar.
Los coeficientes de la funcion objetivo del primal seran los coeficientes del vector de disponibilidad de recursos en el Dual.
Asi, los coeficientes del vector disponibilidad de recursos del problema primal seran los coeficientes de la funcion objetivo (vector, costos de precios, o utilidad) en el problema dual.
Los coeficientes de las restricciones en el primal (transpuesta de la matriz, sera la matriz de los coeficientes en el dual).
Los signos de desigualdad del problema Dualson contrarios a los del problema primal.
Las variables “X” del primal se convierten en nuevas variables “Y” en el Dual.
Considerando el siguiente problema, calcular su modelo PRIMARIO, DUAL.
Minimizar
Restricciones X< 4 P= 4z1+6z2+18z3+10z4
Y<> 3
3x +2y<>5
X+4y<> 0
Donde: x, y > 0
Ponemos los coeficientes disponibilidad en forma de vector columna (matriz), primal.
b= 4 estos se conviertenen vector horizontal o vertical (matriz fila) traspuesta;
6 esto es:
18 b= (4,6,18,10)
10
Hacemos las restricciones del primal en forma de matriz
1 0 1 0
A 0 1 por lo tanto su traspuesta (Dual), sera: A= 0 1
3 2 3 2
1 4 1 4
Al maximizar:
C= (3,5) su matriz traspuesta (Dual) sera: C= 3
5
2.Dado el siguiente modelo Primal,expresra su modelo dual correspondiente.
Max: Z= 3x1+8x2+2x3+4x4
Restricciones:
X1+X2+2x3+3x4 < 5
X1-X2 =-1
X3+X4 > 46
Donde: X1,X2,X3,X4 > 0
Por lo tanto (Dual), Min: G= 5y1-y2 +46y3
Las restricciones quedan:
y1+y2+ > 3
y1-y2 > 8
2 y1 + y3 > 2
3y1 -y3 > -4
Donde: y1, y2, y3 > 0
B= 5
-1 b= (5 -1 46)
46
Entonces el primal sera: y el dual sera:
1 1 2 3 1 1 0
A= 1 -1 0 0 A= 1 -1 0
0 0 1 -1 2 0 1
3 0 -1
Asi el primal queda como: y el dual quedara como:
C= 3 8 2 -4 C= 3
8
2
-4
jueves, 28 de febrero de 2008
Ejemplo II MODELO deTRANSPORTE
Un método mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente.
Ejemplo de MODELO de TRANSPORTE
El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.
UNIDAD II
Programación Lineal
Un problema de Programación Lineal consiste en encontrar el máximo o el mínimo de una función, como, por ejemplo, los beneficios de una empresa o el coste de una dieta, teniendo en cuenta una serie de limitaciones (restricciones) impuestas por las condiciones materiales en las que se desarrolla nuestro problema (número de trabajadores, cantidad mínima diaria de calorías, etc.)
Más en concreto, un problema de Programación Lineal presenta siempre los siguientes elementos:
· Un sistema de inecuaciones, llamadas restricciones, impuestas por la naturaleza del problema. El polígono convexo formado por las soluciones del sistema recibe el nombre de región factible.
· Una función lineal de dos variables, de la forma f(x,y)=ax+by+c, que recibe el nombre de función objetivo. Resolver el problema consiste en encontrar el punto, o los puntos, de la región factible en los que f alcanza su máximo o su mínimo.
Por ejemplo, vamos a buscar el máximo de la función
f(x,y)=-x+y+2,
sujeta a las restricciones:
x>=0, y>=0, 2x-3y<=0, 2x-9y<=-18.
Si observas la animación verás que una forma de resolverlo consiste en representar en el espacio la región factible (en el plano XY) y la función objetivo en la forma
z=f(x,y),
y encontrar el punto de la región factible en el que f(x,y) es más grande (aquél en el que z alcanza su mayor altura)
El inconveniente que presenta el método anterior es que nos obliga a utilizar una representación en el espacio.
Por eso, en la práctica resulta más conveniente representar en el plano la región factible y trazar las llamadas curvas de nivel, que, como en un mapa, representan los puntos en los que la función objetivo alcanza la misma altura.
Como la función objetivo es un plano, las curvas de nivel que obtenemos son rectas, todas ellas paralelas.
Según se va cambiando de una recta paralela a otra el valor de f va aumentando o disminuyendo.
Para terminar de resolver el problema, obtener el máximo o el mínimo que estás buscando, debes observar cómo varía la función objetivo (en algunas ocasiones el valor de la función objetivo aumenta cuando aumentas la ordenada en el origen de las rectas paralelas y en otras ocurre lo contrario) y en qué puntos las paralelas a ella "abandonan" la región factible.
Si la región no está acotada los extremos a veces no existen y si existen se alcanzan en un vértice, un segmento o una semirecta (¿por qué?). Si la región está acotada siempre existen los extremos y pueden alcanzarse en un vértice o en un segmento (¿por qué?).
Método gráfico de resolución de sistemas
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:
· Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
· Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
· Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
· En este último paso hay tres posibilidades:
· Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
· Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
· Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
Un problema de Programación Lineal consiste en encontrar el máximo o el mínimo de una función, como, por ejemplo, los beneficios de una empresa o el coste de una dieta, teniendo en cuenta una serie de limitaciones (restricciones) impuestas por las condiciones materiales en las que se desarrolla nuestro problema (número de trabajadores, cantidad mínima diaria de calorías, etc.)
Más en concreto, un problema de Programación Lineal presenta siempre los siguientes elementos:
· Un sistema de inecuaciones, llamadas restricciones, impuestas por la naturaleza del problema. El polígono convexo formado por las soluciones del sistema recibe el nombre de región factible.
· Una función lineal de dos variables, de la forma f(x,y)=ax+by+c, que recibe el nombre de función objetivo. Resolver el problema consiste en encontrar el punto, o los puntos, de la región factible en los que f alcanza su máximo o su mínimo.
Por ejemplo, vamos a buscar el máximo de la función
f(x,y)=-x+y+2,
sujeta a las restricciones:
x>=0, y>=0, 2x-3y<=0, 2x-9y<=-18.
Si observas la animación verás que una forma de resolverlo consiste en representar en el espacio la región factible (en el plano XY) y la función objetivo en la forma
z=f(x,y),
y encontrar el punto de la región factible en el que f(x,y) es más grande (aquél en el que z alcanza su mayor altura)
El inconveniente que presenta el método anterior es que nos obliga a utilizar una representación en el espacio.
Por eso, en la práctica resulta más conveniente representar en el plano la región factible y trazar las llamadas curvas de nivel, que, como en un mapa, representan los puntos en los que la función objetivo alcanza la misma altura.
Como la función objetivo es un plano, las curvas de nivel que obtenemos son rectas, todas ellas paralelas.
Según se va cambiando de una recta paralela a otra el valor de f va aumentando o disminuyendo.
Para terminar de resolver el problema, obtener el máximo o el mínimo que estás buscando, debes observar cómo varía la función objetivo (en algunas ocasiones el valor de la función objetivo aumenta cuando aumentas la ordenada en el origen de las rectas paralelas y en otras ocurre lo contrario) y en qué puntos las paralelas a ella "abandonan" la región factible.
Si la región no está acotada los extremos a veces no existen y si existen se alcanzan en un vértice, un segmento o una semirecta (¿por qué?). Si la región está acotada siempre existen los extremos y pueden alcanzarse en un vértice o en un segmento (¿por qué?).
Método gráfico de resolución de sistemas
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:
· Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
· Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
· Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
· En este último paso hay tres posibilidades:
· Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
· Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
· Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
MODELO DE TRANSPORTE
DEFINICIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE
El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.
La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.
DEFINICIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE
El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.
La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.
MÉTODO de ASIGNACIÓN
El problema de asignación tiene que ver con la asignación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas. Al aplicar el método de transporte y el método de asignación la gerencia está buscando una ruta de distribución o una asignación que optimizará algún objetivo; éste puede se la minimización del costo total, la maximización de las utilidades o la minimización del tiempo total involucrado.
Al igual que el método de transporte el método de asignación es computacionalmente más eficiente que el método simplex para una clase especial de problemas.
UNIDAD I CONT.
La Optimización
Para que un sistema funcione en la realidad tiene que cumplir una serie de condiciones, en primer lugar tiene que ser un sistema eficaz, es decir, tiene que ser capaz de conseguir buenos resultados, calificaré de buenos resultados aquellos que superen al buy and hold de una forma clara, y además obtener un porcentaje de aciertos elevado, lo que dotará al sistema de seguridad; en segundo lugar para que el sistema funcione en su aplicación real será necesario que confiemos en el y que por lo tanto actuemos en consecuencia según sus señales, este es quizás el punto más complicado, existen en la actualidad muchos sistemas que dan muy buenos resultados, pero a veces es difícil confiar en ellos debido a que el mercado nos influye, el propio mercado es el mayor enemigo que tenemos a la hora de obtener beneficios, de forma que si no confiamos en nuestro sistema de inversión, y nos dejamos influir , fracasaremos.
¿ Es necesario un sistema de inversión ?, ¿ Porqué?, Seguir un sistema de inversión es totalmente necesario, debemos de tener en cuenta que dentro del Análisis Técnico hay multitud de instrumentos, osciladores, tipos de gráficos., en un elevado número de ocasiones nos vamos a encontrar que los diferentes instrumentos se contradicen, ¿ quiere decir esto que no sean válidos ? , efectivamente dentro del Análisis Técnico nos encontraremos con instrumentos que realmente no son válidos, pero existen muchos que si lo son, la razón de que en ocasiones se contradigan es que la mayoría de los osciladores son correctos solo en determinadas ocasiones, no existen osciladores que consigan rentabilidad y fiabilidad en todas las situaciones. Un sistema no tiene porque utilizar un solo indicador para dar sus señales, puede utilizar varios indicadores dotando de flexibilidad interna al modelo, de forma que con un solo sistema intentemos conseguir rentabilidad y fiabilidad en toda situación.
Para que un sistema funcione en la realidad tiene que cumplir una serie de condiciones, en primer lugar tiene que ser un sistema eficaz, es decir, tiene que ser capaz de conseguir buenos resultados, calificaré de buenos resultados aquellos que superen al buy and hold de una forma clara, y además obtener un porcentaje de aciertos elevado, lo que dotará al sistema de seguridad; en segundo lugar para que el sistema funcione en su aplicación real será necesario que confiemos en el y que por lo tanto actuemos en consecuencia según sus señales, este es quizás el punto más complicado, existen en la actualidad muchos sistemas que dan muy buenos resultados, pero a veces es difícil confiar en ellos debido a que el mercado nos influye, el propio mercado es el mayor enemigo que tenemos a la hora de obtener beneficios, de forma que si no confiamos en nuestro sistema de inversión, y nos dejamos influir , fracasaremos.
¿ Es necesario un sistema de inversión ?, ¿ Porqué?, Seguir un sistema de inversión es totalmente necesario, debemos de tener en cuenta que dentro del Análisis Técnico hay multitud de instrumentos, osciladores, tipos de gráficos., en un elevado número de ocasiones nos vamos a encontrar que los diferentes instrumentos se contradicen, ¿ quiere decir esto que no sean válidos ? , efectivamente dentro del Análisis Técnico nos encontraremos con instrumentos que realmente no son válidos, pero existen muchos que si lo son, la razón de que en ocasiones se contradigan es que la mayoría de los osciladores son correctos solo en determinadas ocasiones, no existen osciladores que consigan rentabilidad y fiabilidad en todas las situaciones. Un sistema no tiene porque utilizar un solo indicador para dar sus señales, puede utilizar varios indicadores dotando de flexibilidad interna al modelo, de forma que con un solo sistema intentemos conseguir rentabilidad y fiabilidad en toda situación.
. De esta forma intenta dar respuesta a un tipo general de problemas de la forma:
Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema.
Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.
Programación Lineal (PL)
La programación lineal muchas veces es uno de los temas preferidos tanto de profesores como de alumnos. La capacidad de introducir la PL utilizando un abordaje gráfico, la facilidad relativa del método de solución, la gran disponibilidad de paquetes de software de PL y la amplia gama de aplicaciones hacen que la PL sea accesible incluso para estudiantes con poco conocimiento de matemática. Además, la PL brinda una excelente oportunidad para presentar la idea del análisis what-if o análisis de hipótesis ya que se han desarrollado herramientas poderosas para el análisis de post optimalidad para el modelo de PL.
La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL. La industria petrolera parece ser el usuario más frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calculó que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informático de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares.
La programación lineal aborda una clase de problemas de programación donde tanto la función objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40. Rara vez una nueva técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo teórico tan exhaustivo en un período tan corto. Hoy en día, esta teoría se aplica con éxito a problemas de presupuestos de capital, diseño de dietas, conservación de recursos, juegos de estrategias, predicción de crecimiento económico y sistemas de transporte. Recientemente la teoría de la programación lineal también contribuyó a la resolución y unificación de diversas aplicaciones.
Es importante que el lector entienda desde el comienzo que el término "programación" tiene un significado distinto cuando se refiere a Programación Lineal que cuando hablamos de Programación Informática. En el primer caso, significa planificar y organizar mientras que en el segundo caso, significa escribir las instrucciones para realizar cálculos. La capacitación en una clase de programación tiene muy poca relevancia directa con la otra clase de programación. De hecho, el término "programación lineal" se acuñó antes de que la palabra programación se relacionara con el software de computación. A veces se evita esta confusión utilizando el término optimización lineal como sinónimo de programación lineal.
Cualquier problema de PL consta de una función objetivo y un conjunto de restricciones. En la mayoría de los casos, las restricciones provienen del entorno en el cual usted trabaja para lograr su objetivo. Cuando usted quiere lograr el objetivo deseado, se dará cuenta de que el entorno fija ciertas restricciones (es decir, dificultades, limitaciones) para cumplir con su deseo (vale decir, el objetivo). Es por eso que las religiones, como el Budismo entre otras, prescriben vivir una vida abstemia. Sin deseo, no hay dolor. ¿Puede usted seguir este consejo con respecto a su objetivo de negocios?
Qué es una función: una función es una cosa que hace algo. Por ejemplo, una máquina de moler café es una función que transforma los granos de café en polvo. La función (objetivo) traza, traduce el dominio de entrada (denominado región factible) en un rango de salida con dos valores finales denominados valores máximo y mínimo.
Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones:
1. 1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe verificar que todas las variables estén elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas);
2. 2. El objetivo debe ser ya sea la maximización o minimización de una función lineal. El objetivo debe representar la meta del decisor; y
3. 3. Las restricciones también deben ser lineales. . Asimismo, la restricción debe adoptar alguna de las siguientes formas ( £, ³, O =, es decir que las restricciones de PL siempre están cerradas).
Por ejemplo, el siguiente problema no es un problema de PL: Max X, sujeta a < 1. Este problema tan sencillo no tiene solución.
Como siempre, se debe tener cuidado al categorizar un problema de optimización como un problema de PL. ¿El siguiente problema es un problema de PL?
Max X2sujeta a:X1 + X2 £ 0X12 - 4 £ 0
Aunque la segunda restricción parece "como si" fuera una restricción no lineal, esta restricción puede escribirse también de la siguiente forma:X1 ³ -2, y X2 £ 2. En consecuencia, el problema es de hecho un problema de PL.
Para la mayoría de los problemas de PL, podemos decir que existen dos tipos importantes de objetos: en primer lugar, los recursos limitados, tales como terrenos, capacidad de planta, o tamaño de la fuerza de ventas; en segundo lugar, las actividades, tales como "producir acero con bajo contenido de carbono", y "producir acero con alto contenido de carbono". Cada actividad consume o probablemente contribuye cantidades adicionales de recursos. Debe haber una función objetivo, es decir, una manera de discriminar una mala de una buena o una mejor decisión. El problema es determinar la mejor combinación de niveles de actividades, que no utilice más recursos de los disponibles. Muchos gerentes se enfrentan a esta tarea todos los días. Afortunadamente, el software de programación lineal ayuda a determinar esto cuando se ingresa un modelo bien formulado.
El método Simplex es un algoritmo de solución muy utilizado para resolver programas lineales. Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada.
El logarítmo en base a de un número n, es otro número b, tal que cumple esta ecuación: ab = n.
Dicho matemáticamente loga n = b ==> ab = n.
No continúes mientras no te grabes esta definición en tu cabeza de tal manera que no se te olvide nunca.
Si lo comprendes puedes continuar.
Supongamos que el logarítmo en base a de un numero n1 sea b1 (loga n1 = b1).
Entonces ab1 = n1.
Supongamos que el logarítmo en base a de un numero n2 sea b2 (loga n2 = b2).
Entonces ab2 = n2.
Supongamos que nos piden que calculemos el logarítmo del producto n1.n2, y digamos que es b. Si tenemos en cuenta las igualdades anteriores nos queda:
loga n1.n2 = loga ab1.ab2 = b
ab = ab1.ab2 = ab1+b2
Para que esta igualdad se cumpla b = b1 + b2, por lo tanto el logarítmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
De igual manera se demostraría que el logarítmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del numerador y denominador, y con un poco más de trabajo que el logarítmo de una exponenciación es igual al exponente por el logarítmo de la base.
Ya podemos responder a la pregunta de para qué sirven los logarítmos: Hace no muchos años, no había ordenadores, ni calculadoras, y por lo tanto multiplicar y dividir (y muchisimo mas la exponenciación) cuando los números implicados eran grandes, era una tarea árdua (y casi seguro que se cometían errores). Con los logarítmos las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y la exponenciación en multiplicaciones, con lo que se facilitaban mucho las operaciones. Una vez obtenido el resultado se calculaba el antilogarítmo para obtener el numero real.
Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema.
Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.
Programación Lineal (PL)
La programación lineal muchas veces es uno de los temas preferidos tanto de profesores como de alumnos. La capacidad de introducir la PL utilizando un abordaje gráfico, la facilidad relativa del método de solución, la gran disponibilidad de paquetes de software de PL y la amplia gama de aplicaciones hacen que la PL sea accesible incluso para estudiantes con poco conocimiento de matemática. Además, la PL brinda una excelente oportunidad para presentar la idea del análisis what-if o análisis de hipótesis ya que se han desarrollado herramientas poderosas para el análisis de post optimalidad para el modelo de PL.
La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL. La industria petrolera parece ser el usuario más frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calculó que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informático de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares.
La programación lineal aborda una clase de problemas de programación donde tanto la función objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40. Rara vez una nueva técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo teórico tan exhaustivo en un período tan corto. Hoy en día, esta teoría se aplica con éxito a problemas de presupuestos de capital, diseño de dietas, conservación de recursos, juegos de estrategias, predicción de crecimiento económico y sistemas de transporte. Recientemente la teoría de la programación lineal también contribuyó a la resolución y unificación de diversas aplicaciones.
Es importante que el lector entienda desde el comienzo que el término "programación" tiene un significado distinto cuando se refiere a Programación Lineal que cuando hablamos de Programación Informática. En el primer caso, significa planificar y organizar mientras que en el segundo caso, significa escribir las instrucciones para realizar cálculos. La capacitación en una clase de programación tiene muy poca relevancia directa con la otra clase de programación. De hecho, el término "programación lineal" se acuñó antes de que la palabra programación se relacionara con el software de computación. A veces se evita esta confusión utilizando el término optimización lineal como sinónimo de programación lineal.
Cualquier problema de PL consta de una función objetivo y un conjunto de restricciones. En la mayoría de los casos, las restricciones provienen del entorno en el cual usted trabaja para lograr su objetivo. Cuando usted quiere lograr el objetivo deseado, se dará cuenta de que el entorno fija ciertas restricciones (es decir, dificultades, limitaciones) para cumplir con su deseo (vale decir, el objetivo). Es por eso que las religiones, como el Budismo entre otras, prescriben vivir una vida abstemia. Sin deseo, no hay dolor. ¿Puede usted seguir este consejo con respecto a su objetivo de negocios?
Qué es una función: una función es una cosa que hace algo. Por ejemplo, una máquina de moler café es una función que transforma los granos de café en polvo. La función (objetivo) traza, traduce el dominio de entrada (denominado región factible) en un rango de salida con dos valores finales denominados valores máximo y mínimo.
Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones:
1. 1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe verificar que todas las variables estén elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas);
2. 2. El objetivo debe ser ya sea la maximización o minimización de una función lineal. El objetivo debe representar la meta del decisor; y
3. 3. Las restricciones también deben ser lineales. . Asimismo, la restricción debe adoptar alguna de las siguientes formas ( £, ³, O =, es decir que las restricciones de PL siempre están cerradas).
Por ejemplo, el siguiente problema no es un problema de PL: Max X, sujeta a < 1. Este problema tan sencillo no tiene solución.
Como siempre, se debe tener cuidado al categorizar un problema de optimización como un problema de PL. ¿El siguiente problema es un problema de PL?
Max X2sujeta a:X1 + X2 £ 0X12 - 4 £ 0
Aunque la segunda restricción parece "como si" fuera una restricción no lineal, esta restricción puede escribirse también de la siguiente forma:X1 ³ -2, y X2 £ 2. En consecuencia, el problema es de hecho un problema de PL.
Para la mayoría de los problemas de PL, podemos decir que existen dos tipos importantes de objetos: en primer lugar, los recursos limitados, tales como terrenos, capacidad de planta, o tamaño de la fuerza de ventas; en segundo lugar, las actividades, tales como "producir acero con bajo contenido de carbono", y "producir acero con alto contenido de carbono". Cada actividad consume o probablemente contribuye cantidades adicionales de recursos. Debe haber una función objetivo, es decir, una manera de discriminar una mala de una buena o una mejor decisión. El problema es determinar la mejor combinación de niveles de actividades, que no utilice más recursos de los disponibles. Muchos gerentes se enfrentan a esta tarea todos los días. Afortunadamente, el software de programación lineal ayuda a determinar esto cuando se ingresa un modelo bien formulado.
El método Simplex es un algoritmo de solución muy utilizado para resolver programas lineales. Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada.
El logarítmo en base a de un número n, es otro número b, tal que cumple esta ecuación: ab = n.
Dicho matemáticamente loga n = b ==> ab = n.
No continúes mientras no te grabes esta definición en tu cabeza de tal manera que no se te olvide nunca.
Si lo comprendes puedes continuar.
Supongamos que el logarítmo en base a de un numero n1 sea b1 (loga n1 = b1).
Entonces ab1 = n1.
Supongamos que el logarítmo en base a de un numero n2 sea b2 (loga n2 = b2).
Entonces ab2 = n2.
Supongamos que nos piden que calculemos el logarítmo del producto n1.n2, y digamos que es b. Si tenemos en cuenta las igualdades anteriores nos queda:
loga n1.n2 = loga ab1.ab2 = b
ab = ab1.ab2 = ab1+b2
Para que esta igualdad se cumpla b = b1 + b2, por lo tanto el logarítmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
De igual manera se demostraría que el logarítmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del numerador y denominador, y con un poco más de trabajo que el logarítmo de una exponenciación es igual al exponente por el logarítmo de la base.
Ya podemos responder a la pregunta de para qué sirven los logarítmos: Hace no muchos años, no había ordenadores, ni calculadoras, y por lo tanto multiplicar y dividir (y muchisimo mas la exponenciación) cuando los números implicados eran grandes, era una tarea árdua (y casi seguro que se cometían errores). Con los logarítmos las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y la exponenciación en multiplicaciones, con lo que se facilitaban mucho las operaciones. Una vez obtenido el resultado se calculaba el antilogarítmo para obtener el numero real.
¿Cómo se cambia de base un logarítmo?
Según la definición de logarítmo, loga b = c, quiere decir que b = ac
Tomando logarítmos en base n, a esta última expresión, logn b = c logn a, pero c = loga b. Entonces loga b= logn b / logn a
Orígenes
Los logaritmos se atribuyen a John Napier. Publicó su trabajo en 1614 en el libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos).
Napier era un terrateniente escocés (no era por lo tanto, un profesional de las matemáticas).
Napier seguramente estudió las sucesiones de las potencias de un número y se percató que los productos y cocientes de dos números de dichas sucesiones son iguales a las potencias de las sumas o diferencias de los exponentes de dichos números (an.am = a(n+m)). Pero estas sucesiones no resultaban útiles para el cálculo porque entre dos potencias sucesivas había un hueco muy grande y la interpolación que había que hacer era muy imprecisa.
Para conseguir que los términos de la progresión geométrica formada por las potencias enteras de un número estuviesen proximas, tomó un número muy próximo a 1 (Napier tomó el número 0,9999999 = 1- 10-7). Para evitar el uso de decimales multiplicó todas las potencias por 107. Entonces cualquier número a = 107(1-10-7)b . b sería el logaritmo de a.
Napier llamó al principio a estos número artificiales, pero mas tarde se decidió por la unión de dos palabras griegas logos (razón) y arithmos (número).
Este sistema de cálculo fue aceptado con gran rapidez. Entre los mas entusiastas estaba Henry Briggs. Briggs visitó a Napier en 1615 y entre los dos vieron la posibilidad de hacer algunas modificaciones.
Briggs, en vez de tomar un número muy próximo a 1, partió de la igualdad log 10 = 1 y después fue calculando otros logartimos tomando raices sucesivamente (como la raiz cuadrada de 10 es 3,1622, entonces el logaritmo de 3,1622 es 2).
En 1617 publicó Logarithnmorum chilias prima (Logaritmos de los números 1 al 1000) y en 1624 publicó Arithmetica logarithmica.
¿qué es la Investigación de operaciones? Definición
La terminología “Investigación de operaciones” es algo desafortunada o aún divertida, puesto que no se refiere para nada a operaciones, ni su aplicación implica cualquier investigación en el sentido tradicional. Algunas buenas definiciones de Investigación de operaciones son:
· La investigación de operaciones (OR) es la disciplina de aplicar métodos analíticos avanzados para ayudar a tomar mejores decisiones. Usando técnicas tales como modelos matemáticos para analizar situaciones complejas, la investigación de operaciones da a ejecutivos el poder de tomar decisiones más eficaces y de construir sistemas más productivos.
· O.R. está la disciplina profesional esa los acuerdos con la aplicación de la tecnología de información para la toma de decisiones informada. Apunta a proporcionar las bases racionales para la toma de decisiones intentando entender y estructurar situaciones complejas y utilizar esta comprensión para predecir el comportamientos del sistema y para mejorar el desempeño del mismo. Mucho de este trabajo son técnicas analíticas y numéricas hechas para desarrollar y manipular modelos matemáticos y de computadora que simulen los sistemas de organización, los mismos que están integrados por el personal, las máquinas, y los procedimientos.
· O.R. atrae sobre ideas de la ingeniería, de la gestión, de matemáticas, y de psicología de contribuir a una variedad amplia de dominios de la aplicación; el campo se relaciona de cerca con varios otros campos dentro de las “ciencias decisionales” - matemáticas aplicadas, informática, economía, ingeniería industrial, e ingeniería de sistemas.
· O.R. es la ciencia de la toma de decisiones racional y del estudio, el diseño y la integración de situaciones y de sistemas complejos con la meta desempeño del sistema que predice del sistema del comportamiento y el mejorar o de la optimización. Abarca toma de decisiones directivas, el modelo matemático y de computadora, y el uso de la tecnología de la información para la toma de decisiones informadas.
Como ciencia, O.R. remonta sus raíces de nuevo a la Segunda Guerra Mundial, cuando los planificadores militares tales como Frederick Lanchester y Patrick Blackett buscaron maneras de llevar los cálculos científicos a los Aliados contra la Alemania nazi.
Según la definición de logarítmo, loga b = c, quiere decir que b = ac
Tomando logarítmos en base n, a esta última expresión, logn b = c logn a, pero c = loga b. Entonces loga b= logn b / logn a
Orígenes
Los logaritmos se atribuyen a John Napier. Publicó su trabajo en 1614 en el libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos).
Napier era un terrateniente escocés (no era por lo tanto, un profesional de las matemáticas).
Napier seguramente estudió las sucesiones de las potencias de un número y se percató que los productos y cocientes de dos números de dichas sucesiones son iguales a las potencias de las sumas o diferencias de los exponentes de dichos números (an.am = a(n+m)). Pero estas sucesiones no resultaban útiles para el cálculo porque entre dos potencias sucesivas había un hueco muy grande y la interpolación que había que hacer era muy imprecisa.
Para conseguir que los términos de la progresión geométrica formada por las potencias enteras de un número estuviesen proximas, tomó un número muy próximo a 1 (Napier tomó el número 0,9999999 = 1- 10-7). Para evitar el uso de decimales multiplicó todas las potencias por 107. Entonces cualquier número a = 107(1-10-7)b . b sería el logaritmo de a.
Napier llamó al principio a estos número artificiales, pero mas tarde se decidió por la unión de dos palabras griegas logos (razón) y arithmos (número).
Este sistema de cálculo fue aceptado con gran rapidez. Entre los mas entusiastas estaba Henry Briggs. Briggs visitó a Napier en 1615 y entre los dos vieron la posibilidad de hacer algunas modificaciones.
Briggs, en vez de tomar un número muy próximo a 1, partió de la igualdad log 10 = 1 y después fue calculando otros logartimos tomando raices sucesivamente (como la raiz cuadrada de 10 es 3,1622, entonces el logaritmo de 3,1622 es 2).
En 1617 publicó Logarithnmorum chilias prima (Logaritmos de los números 1 al 1000) y en 1624 publicó Arithmetica logarithmica.
¿qué es la Investigación de operaciones? Definición
La terminología “Investigación de operaciones” es algo desafortunada o aún divertida, puesto que no se refiere para nada a operaciones, ni su aplicación implica cualquier investigación en el sentido tradicional. Algunas buenas definiciones de Investigación de operaciones son:
· La investigación de operaciones (OR) es la disciplina de aplicar métodos analíticos avanzados para ayudar a tomar mejores decisiones. Usando técnicas tales como modelos matemáticos para analizar situaciones complejas, la investigación de operaciones da a ejecutivos el poder de tomar decisiones más eficaces y de construir sistemas más productivos.
· O.R. está la disciplina profesional esa los acuerdos con la aplicación de la tecnología de información para la toma de decisiones informada. Apunta a proporcionar las bases racionales para la toma de decisiones intentando entender y estructurar situaciones complejas y utilizar esta comprensión para predecir el comportamientos del sistema y para mejorar el desempeño del mismo. Mucho de este trabajo son técnicas analíticas y numéricas hechas para desarrollar y manipular modelos matemáticos y de computadora que simulen los sistemas de organización, los mismos que están integrados por el personal, las máquinas, y los procedimientos.
· O.R. atrae sobre ideas de la ingeniería, de la gestión, de matemáticas, y de psicología de contribuir a una variedad amplia de dominios de la aplicación; el campo se relaciona de cerca con varios otros campos dentro de las “ciencias decisionales” - matemáticas aplicadas, informática, economía, ingeniería industrial, e ingeniería de sistemas.
· O.R. es la ciencia de la toma de decisiones racional y del estudio, el diseño y la integración de situaciones y de sistemas complejos con la meta desempeño del sistema que predice del sistema del comportamiento y el mejorar o de la optimización. Abarca toma de decisiones directivas, el modelo matemático y de computadora, y el uso de la tecnología de la información para la toma de decisiones informadas.
Como ciencia, O.R. remonta sus raíces de nuevo a la Segunda Guerra Mundial, cuando los planificadores militares tales como Frederick Lanchester y Patrick Blackett buscaron maneras de llevar los cálculos científicos a los Aliados contra la Alemania nazi.
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización.
La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia. La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones incluye la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupa también de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite. Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista. Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vista organizacional. de esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella. Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta "búsqueda de la optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones. Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización.
IMPACTO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones. Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sería el área profesional clasificada como la tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para el año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de investigación de operaciones.
RIESGO AL APLICAR LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización.
La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia. La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones incluye la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupa también de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite. Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista. Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vista organizacional. de esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella. Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta "búsqueda de la optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones. Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización.
IMPACTO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones. Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sería el área profesional clasificada como la tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para el año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de investigación de operaciones.
RIESGO AL APLICAR LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes técnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los métodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un método específico. Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.
ORIGENES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o cuantitativo. El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de herramientas matemáticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan complejo o importante que requiere de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución. La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para hacer planes a futuro. En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida. En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga un conocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y recomendaciones que se le presenten. En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine las herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar sus decisiones. Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales de miles de millones de pesos. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran aumento en la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios, el aumento en el grado de especialización creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es las tendencia de muchas de las componentes de una organización a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores, perdiendo con esto la visión de la forma en que encajan sus actividades y objetivos con los de toda la organización. Lo que es mejor para una componente, puede ir en detrimento de otra, de manera que pueden terminar trabajando con objetivos opuestos. Un problema relacionado con esto es que, conforme la complejidad y la especialización crecen, se vuelve más difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización como un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla de campaña en el pacífico. Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez. Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigación de operaciones durante este período. Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de IO o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas características de la investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la década de 1950. Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de la computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuos tiene acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama e computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas de investigación de operaciones.
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla de campaña en el pacífico. Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez. Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigación de operaciones durante este período. Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de IO o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas características de la investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la década de 1950. Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de la computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuos tiene acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama e computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas de investigación de operaciones.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Y RECOLECCIÓN DE DATOS
La mayor parte de los problemas prácticos con los que se enfrenta el equipo IO están descritos inicialmente de una manera vaga. Por consiguiente, la primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. ¡Es difícil extraer una respuesta "correcta" a partir de un problema "equivocado"! Por su naturaleza, la investigación de operaciones se encarga del bienestar de toda la organización, no sólo de algunos de sus componentes. Un estudio de IO busca soluciones óptimas globales y no soluciones subóptimas aunque sean lo mejor para uno de los componente. Entonces, idealmente, los objetivos que se formulan debe coincidir con los de toda la organización. Sin embargo, esto no siempre es conveniente. Muchos problemas interesan nada más a una parte de la organización, de manera que el análisis sería innecesariamente besado si los objetivos fueran muy generales y si se prestara atención especial a todos los efectos secundarios sobre el resto de la organización. En lugar de ello, los objetivos usados en un estudio deben ser tan específicos como sea posible, siempre y cuando contemplen las metas principales del tomador de decisiones y mantengan un nivel razonable de consistencia con los objetivos de los altos niveles. Las condiciones fundamentales para que exista un problema es que se establezca una diferencia entre lo que es (situación actual) y lo que debe ser (situación deseada u objetivo) y además exista cuando menos una forma de eliminar o disminuir esa diferencia.
La mayor parte de los problemas prácticos con los que se enfrenta el equipo IO están descritos inicialmente de una manera vaga. Por consiguiente, la primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. ¡Es difícil extraer una respuesta "correcta" a partir de un problema "equivocado"! Por su naturaleza, la investigación de operaciones se encarga del bienestar de toda la organización, no sólo de algunos de sus componentes. Un estudio de IO busca soluciones óptimas globales y no soluciones subóptimas aunque sean lo mejor para uno de los componente. Entonces, idealmente, los objetivos que se formulan debe coincidir con los de toda la organización. Sin embargo, esto no siempre es conveniente. Muchos problemas interesan nada más a una parte de la organización, de manera que el análisis sería innecesariamente besado si los objetivos fueran muy generales y si se prestara atención especial a todos los efectos secundarios sobre el resto de la organización. En lugar de ello, los objetivos usados en un estudio deben ser tan específicos como sea posible, siempre y cuando contemplen las metas principales del tomador de decisiones y mantengan un nivel razonable de consistencia con los objetivos de los altos niveles. Las condiciones fundamentales para que exista un problema es que se establezca una diferencia entre lo que es (situación actual) y lo que debe ser (situación deseada u objetivo) y además exista cuando menos una forma de eliminar o disminuir esa diferencia.
Los componentes de un problema son:
a) el tomador de decisiones o ejecutivo
b) los objetivos de la organización
c) el sistema o ambiente en el que se sitúa el problema
d) Los cursos de acción alternativos que se pueden tomar para resolverlo.
Para formular un problema se requiere:
a) identificar las componentes y variables controlables y no controlables del sistema
b) identificar los posibles cursos de acción, determinados por las componentes controlables
c) definir el marco de referencia dado por las componentes no controlables
d) definir los objetivos que se busca alcanzar y clasificarlos por orden de importancia
e) identificar las interpelaciones importantes entre las diferentes partes del sistema y encontrar las restricciones que existen.
FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO
Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este tipo, se explorará la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos matemáticos. El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas (ecuaciones y desigualdades) establecidas en términos de variables, que representa la esencia el problema que se pretende solucionar. Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en función de las cuales será establecido.
FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO
Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este tipo, se explorará la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos matemáticos. El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas (ecuaciones y desigualdades) establecidas en términos de variables, que representa la esencia el problema que se pretende solucionar. Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en función de las cuales será establecido.
Luego, se procede a determinar matemáticamente cada una de las dos partes que constituyen un modelo:
a) la medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una función (ecuación) llamada función objetivo
b) las limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución. Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema. Una ventaja obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma mucho más concisa. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea más comprensible y ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y efecto. De esta manera, indica con más claridad que datos adicionales son importantes para el análisis. También facilita simultáneamente el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interpelaciones. Por último, un modelo matemático forma un puente para poder emplear técnicas matemáticas y computadoras de alto poder, para analizar el problema. Sin duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes de software para muchos tipos de modelos matemáticos, para micro y minicomputadoras. Por otro lado, existen obstáculos que deben evitarse al usar modelos matemáticos. Un modelo es, necesariamente, una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificación si se quiere que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representación válida del problema. El criterio apropiado para juzgar la validez de un modelo es el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de acción, para poder tomar una decisión que tenga sentido. En consecuencia, no es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de efectividad sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos (es decir, las diferencias entre sus valores) sean bastante preciso. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlación entre la predicción del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un número considerable de pruebas del modelo y las modificaciones consecuentes. Aunque esta fase de pruebas se haya colocado después en el orden del libro, gran parte del trabajo de validación del modelo se lleva a cabo durante la etapa de construcción para que sirva de guía en la obtención del modelo matemático.
OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos:
OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos:
a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática
b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error
c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.
Muchos de los procedimientos de solución tienen la característica de ser iterativos, es decir buscan la solución en base a la repetición de la misma regla analítica hasta llegar a ella, si la hay, o cuando menos a una aproximación.
PRUEBA DEL MODELO
El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente, después de una larga serie de programas mejorados, el programador (o equipo de programación) concluye que el actual da, en general, resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunas fallas ocultas en el programa (y quizá nunca se detecten, se habrán eliminado suficientes problemas importantes como para que sea confiable utilizarlo. De manera similar, es inevitable que la primera versión de un modelo matemático grande tenga muchas fallas. Sin duda, algunos factores o interpelaciones relevantes no se incorporaron al modelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Esto no se puede eludir dada la dificultad de la comunicación y la compresión de todos los aspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, así como la dificultad de recolectar datos confiables. Por lo tanto, antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Con el tiempo, después de una larga serie de modelos mejorados, el equipo de IO concluye que el modelo actual produce resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quizá nunca se detecten), las fallas importantes se habrán eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validación del modelo. Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas del modelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los árboles". Entonces, después de completar los detalles ("los árboles") de la versión inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma global ("el bosque") para verificar los errores u omisiones obvias. El grupo que hace esta revisión debe, de preferencia, incluir por lo menos a una persona que no haya participado en la formulación. Al examinar de nuevo la formulación del problema y comprarla con el modelo pueden descubrirse este tipo de errores. También es útil asegurarse de que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible. Con frecuencia, esto es especialmente revelador cuando se asignan a los parámetros o a las variables valores extremos cercanos a su máximo o a su mínimo. Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. La comparación de la efectividad de este desempeño hipotético con lo que en realidad ocurrió, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la práctica actual. Puede también indicar áreas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es más, el emplear las alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción. Cuando se determina que el modelo y la solución no son válidos, es necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodología de la investigación de operaciones.
ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCION
Una solución establecida como válida para un problema, permanece como tal siempre y cuando las condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los parámetros, las relaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situación se vuelve más factible cuando algunos de los parámetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. usualmente esto se conoce como análisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema.
IMPLANTACION DE LA SOLUCION
PRUEBA DEL MODELO
El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente, después de una larga serie de programas mejorados, el programador (o equipo de programación) concluye que el actual da, en general, resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunas fallas ocultas en el programa (y quizá nunca se detecten, se habrán eliminado suficientes problemas importantes como para que sea confiable utilizarlo. De manera similar, es inevitable que la primera versión de un modelo matemático grande tenga muchas fallas. Sin duda, algunos factores o interpelaciones relevantes no se incorporaron al modelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Esto no se puede eludir dada la dificultad de la comunicación y la compresión de todos los aspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, así como la dificultad de recolectar datos confiables. Por lo tanto, antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Con el tiempo, después de una larga serie de modelos mejorados, el equipo de IO concluye que el modelo actual produce resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quizá nunca se detecten), las fallas importantes se habrán eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validación del modelo. Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas del modelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los árboles". Entonces, después de completar los detalles ("los árboles") de la versión inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma global ("el bosque") para verificar los errores u omisiones obvias. El grupo que hace esta revisión debe, de preferencia, incluir por lo menos a una persona que no haya participado en la formulación. Al examinar de nuevo la formulación del problema y comprarla con el modelo pueden descubrirse este tipo de errores. También es útil asegurarse de que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible. Con frecuencia, esto es especialmente revelador cuando se asignan a los parámetros o a las variables valores extremos cercanos a su máximo o a su mínimo. Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. La comparación de la efectividad de este desempeño hipotético con lo que en realidad ocurrió, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la práctica actual. Puede también indicar áreas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es más, el emplear las alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción. Cuando se determina que el modelo y la solución no son válidos, es necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodología de la investigación de operaciones.
ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCION
Una solución establecida como válida para un problema, permanece como tal siempre y cuando las condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los parámetros, las relaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situación se vuelve más factible cuando algunos de los parámetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. usualmente esto se conoce como análisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema.
IMPLANTACION DE LA SOLUCION
El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado éste obstáculo, se debe traducir la solución encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los individuos que intervienen en la operación y administración del sistema. La etapa de implantación de una solución se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la participación de todos los involucrados en el problema en cada fase de la metodología. Preparación para la aplicación del modelo Esta etapa es crítica, ya que es aquí, y sólo aquí, donde se cosecharán los beneficios del estudio. Por lo tanto, es importante que el equipo de IO participe, tanto para asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo, como para corregir cualquier defecto en la solución que salga a la luz en este momento. El éxito de la puesta en práctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la alta administración como la gerencia operativa. Es más probable que el equipo de IO obtenga este apoyo si ha mantenido a la administración bien informada y ha fomentado la guía de la gerencia durante el estudio. La buena comunicación ayuda a asegurar que el estudio logre lo que la administración quiere y por lo tanto merezca llevarse a la práctica. También proporciona a la administración el sentimiento de que el estudio es suyo y esto facilita el apoyo para la implantación. La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigación de operaciones de una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relación con la realidad operativa. En seguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operación. La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de acción. Si tiene éxito, el nuevo sistema se podrá emplear durante algunos años. Con esto en mente, el equipo de IO supervisa la experiencia inicial con la acción tomada para identificar cualquier modificación que tenga que hacerse en el futuro. A la culminación del estudio, es apropiado que el equipo de investigación de operaciones documento su metodología con suficiente claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible. Poder obtener una réplica debe ser parte del código de ética profesional del investigador de operaciones. Esta condición es crucial especialmente cuando se estudian políticas gubernamentales en controversia.
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